关于莫比乌斯函数性质的证明

\(\sum_{d|n} \mu(d) = \varepsilon(n)\)

关于有人问我不卷积怎么证，真是个好问题。

首先 \(n=1\) 时自算该式成立，

然后讨论 \(n>1\) 的情况。

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下证 \(\sum_{i\bmod 2 = 0}^{n}C_{n}^{i} - \sum_{i\bmod 2 = 1}^{n}C_{n}^{i} = [n==0]\)

当 \(n=0\) 显然成立。

当 \(n\) 为奇数，总有 \(i\) 为奇数与偶数一一对应，则差为0.

当 \(n\) 为偶数时，

令 \(T_1(x)\) 表示集合大小为 \(x\) 时选奇数个的情况，\(T_0(x)\) 表示集合大小为 \(x\) 时在其中选偶数个的情况。

当 \(x\) 为奇数时，\(T_1(x*2) = 2 \times T_1(x)T_0(x)\)，\(T_1(x*2) = T_0^2(x)+T_0^2(x)\)，
且有 \(T_0(x) = T_1(x)\)，此时 \(T_1(x*2) = T_0(x*2)\)；

当 \(x\) 为偶数时，二分合并即可。

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\(n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}\)，

令 \(P = {p_1 \cdots p_k}\)，

设 \(n\) 的一个因数为 \(d = \prod_{i=1}^{k_1} S_i (S\subseteq P)\)，

设 \(d' = \frac{n}{d}\)。

1、若 \(\mu(n) = -1\)

其另一因数为 \(d' = \prod_{i=1}^{k-k_1} S'_i (S' = S \supset P)\)，

此时 \(k\) 为奇数，

当 \(k_1\) 为奇数，\(\mu(d) = -1\)，\(\mu(d') = 1\)；
当 \(k_1\) 为偶数，\(\mu(d) = 1\)，\(\mu(d') = -1\)。

\(\sum_{d|n} \mu(d)= \sum_{d|n}^{d \le \sqrt{n}}\mu(d)+\mu(\frac{d}{n}) = 0\)。

2、若 \(\mu(n) = 0\)

将 \(d\) 分为 \(3\) 类:

1.\(\mu(d) = 0\)；
2.\(\mu(d) != 0\) 且 \(\mu(d') != 0\)；
3.\(\mu(d) != 0\) 且 \(\mu(d') = 0\)；

第一种放着不管。

第二种情况，当且仅当 \(c_i \le 2\) 存在。显然在 \(d != d'\) 时，\(\mu(d) = -\mu(d')\)。

第三种情况，只关心 \(\mu(d)\) 即可。

当 \(k_1\) 为奇数时 \(\mu(d) = -1\)；当 \(k_1\) 为偶数时 \(\mu(d) = 1\)。

而总有 \(k_1\) 为奇数情况比偶数情况多 \(1\)。

即三种情况 \(\mu(d)\) 和为 \(-1\)，最后加上 \(\mu(1) = 1\)。

3、若 \(\mu(n) = 1\)

此时 \(k\) 为偶数，

当 \(k_1\) 为奇数时，有 \(\mu(d)+\mu(d') = -2\)；

当 \(k_1\) 为偶数时，有 \(\mu(d)+\mu(d') = 2\)。

总有 \(k_1\) 为奇数情况比偶数情况多 \(1\)。

故 \(\mu(d)+\mu(d') = -2\)，最后加上 \(\mu(1) + \mu(n) = 2\)。