MX-2025 盖世计划 C 班 Day 10 复盘

平衡树

准确一点，是 fhq-Treap（膜拜 fhq orz%%%%%%）。

顾名思义，很平衡的树，树高始终为 \(\mathrm{O}(\log n)\) 级别的（注意不是严格的 \(\log n\)，那样复杂度反而不忧）。

为什么要用平衡树

因为，线段树维护的序列的结构不能发生大的改变，所以我们就设计出了一种与权值弱相关的数据结构，这就是平衡树。

因此，大多数线段树的题目，平衡树都能平替。

关于 fhq-Treap

性质优良，几乎无所不能。

约等于对一个 shuffle 过的序列建立笛卡尔树，然后通过一系列的 split 和 merge 完成插入/删除/查询。

时间/空间/代码复杂度都特别优秀，仅次于红黑树。

Notes！

• split 处理完数据记得 merge 回去；
• rt 不固定，需单独存储根节点信息。

进阶用法

可以类似线段树地打 tag，以高效地维护区间修改操作。

持久化

类似线段树（怎么又是线段树？），注意到修改只会影响 \(\mathrm{O}(\log n)\) 个节点，于是只需要存储发生了改变的节点信息即可。

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