MX-2025 盖世计划 C 班 Day 1 复盘

概览

线段树全家桶：一般的线段树、带 lazy_tag 的线段树、线段树二分、动态开点线段树、可持久化线段树。

优点

• 支持在线
• 高效兼顾修改&查询
• 代码简洁（？

细节

• 空间要开 \(4\) 倍，动态开店要开 \(n\log V\)（\(V\) 为值域）
• tag 合并要仔细考虑优先级
• tag 下传不要搞错顺序

一般的线段树

例题

• CSES-1648 Dynamic Range Sum Queries
• LuoGu-P4513 小白逛公园

适用场景

单点修改、区间查询。

性能分析

Time: \(\mathrm{O}((n+q)\log n)\) / Memory: \(\mathrm{O}(n)\)

代码

带 lazy_tag 的线段树

例题

• CSES-1651 Range Update Queries
• CSES-1736 Polynomial Queries
• LuoGu-P3373 线段树 2
• LuoGu-P2572 序列操作

适用场景

区间修改、单点/区间查询。

性能分析

Time: \(\mathrm{O}((n+q)\log n)\) / Memory: \(\mathrm{O}(n\log n)\)

代码

线段树二分

例题

• CSES-1143 Hotel Queries

两种理解

• 二分答案+线段树
• 线段树上的二分

这里解释第二种（第一种都能理解吧……）

正常来说，线段树的查询有左右两个端点。但经过一些玄学修改，我们可以处理第一个大于等于 \(L\) 的查询，及二分。合起来就是 线段树二分。

性能分析

1. Time: \(\mathrm{O}(n\log n+q\log^2 n)\) / Memory: \(\mathrm{O}(n)\)
2. Time: \(\mathrm{O}((n+q)\log n)\) / Memory: \(\mathrm{O}(n)\) 优于第一种

代码（暂无）

动态开点线段树

例题

• CSES-1444 Salary Queries

特点 / 适用场景

动态开点可以处理一些离散化处理不了的线段树问题 ---中译中---> 支持在线

空间要开 \(\log V\) 倍（\(V\) 为值域）。

性能分析

Time: \(\mathrm{O}((n+q)\log n)\) / Memory: \(\mathrm{O}(n\log V)\)

可持久化线段树

例题

• CSES-1737 Range Queries and Copies
• LuoGu-P3834 可持久化线段树 2

适用场景

需要维护历史版本（当然不能暴力出奇迹）

性能分析

Time: \(\mathrm{O}((n+q)\log n)\) / Memory: \(\mathrm{O}(n\log n)\)（优化后）

代码