算法第二章实践作业

一、描述
总共分为三步
1.选择基准元素：从数组中随机选择一个元素作为基准(pivot)

2.分区操作：将数组分为三部分：小于基准的元素，等于基准的元素，大于基准的元素

3.递归判断：
如果k落在小于基准的区域，在左半部分递归查找第k小数；
如果k落在等于基准的区域，基准就是第k小数；
如果k落在大于基准的区域，在右半部分递归查找第(k-左半部分大小-等于部分大小)小的数

二、时间复杂度
最好情况时间复杂度：O(n)
发生在每次分区都能将数组均匀划分时
递归式：T(n) = T(n/2) + O(n)
根据主定理，时间复杂度为O(n)

最坏情况时间复杂度：O(n²)
发生在每次选择的基准都是最小或最大元素时
递归式：T(n) = T(n-1) + O(n)
解得T(n) = O(n²)

平均情况时间复杂度：O(n)，通过随机化选择基准可以保证期望时间复杂度为O(n)

三、体会和理解
分治法体现了"分而治之"的战略思想，将复杂问题分解为规模较小的相同子问题，递归求解后再合并结果。这种思想在算法设计中具有重要价值。其不仅是一种算法设计技术，更是一种重要的思维方式，在解决复杂问题时具有广泛的适用性。