JamBrains 题解

题意题意

你吃过蘸蔓越莓酱的肉丸吗？科斯嘉简直爱不释手，尤其是在深夜解题时。实际上，他在电脑前吃得太投入：一些蔓越莓酱从罐子里滴出来，弄坏了他的键盘。但他还得继续解题。而且，他可不想像键盘那样被卡住！

科斯嘉使用的代码文件包含 \(n\) 行，编号从 \(1\) 到 \(n\)，其中第 \(i\) 行包含 \(s_i\) 个光标位置，从 \((i,1)\) 到 \((i,s_i)\)，将第 \(i\) 行第 \(j\) 个位置记作 \((i,j)\)。

在部分按键损坏的情况下进行代码导航有点棘手。幸运的是，科斯嘉的向上和向右箭头仍能使用：

• 向上键 \((\uparrow)\)：若光标位于位置 \((i,j)\)，如果 \(i=1\)，光标保持原位；否则移动到位置 \((i-1, \min(j, s_{i-1}))\)，其中 \(s_{i-1}\) 是第 \(i-1\) 行的长度。
• 向右键 \((\rightarrow)\)：若光标位于位置 \((i,j)\)，如果 \(j<s_i\)，光标移动到 \((i,j+1)\)；否则移动到 \((i+1,1)\)；但在位置 \((n,s_n)\) 时保持不动。

科斯嘉有个特殊技巧：他选择一个初始光标位置，开始执行无限次按键操作：先按 \(u\) 次向上键，接着按 \(r\) 次向右键，如此循环往复。

例如，设 \(n=5, u=2, r=5, s=\{5,2,4,3,1\}\)。从位置 \((4,3)\) 开始，前几次按键操作的光标移动轨迹如下：
\((4,3)\uparrow(3,3)\uparrow(2,2)\rightarrow(3,1)\rightarrow(3,2)\rightarrow(3,3)\rightarrow(3,4)\rightarrow(4,1)\dots\)

如果一个起始位置能通过执行此无限序列，使光标最终抵达第一行，则称该位置是成功的。

你的任务是帮助科斯嘉计算代码文件中存在多少个成功的起始位置。

由于他的代码尚未完成，你还需要处理 \(q\) 次更新。每次更新会给出两个值 \(pos\) 和 \(x\)，你需要将 \(s_{pos}\) 重新赋值为 \(x\)。请输出在初始状态及每次更新后的问题答案。

形式化题意

对于一个长度为 \(n\) 的正整数序列 \(\{s\}_{i=1}^{n}\)，定义

\[S=\{(i,j)\in \mathbb{Z}_+^2:i \le n,j\le s_i\} \]

对于一个 \((x,y)\in S\)，定义

\[\uparrow(i,j)=\begin{cases} (1,j)& i=1\\ (i−1,\min\{j,s_{i−1}\}) & i \ne 1 \end{cases} \]

\[\rightarrow(i,j)=\begin{cases} (i,j+1)& j<s_i\\ (i+1,1) & i<n,j=s_i\\ (n,s_n)& i=n,j=s_n \end{cases} \]

再有两个正整数 \(u,r\)，定义

\[a_i(x,y)=\begin{cases}(x,y)&i=0\\\uparrow(a_{i-1}(x,y))&i\ne 0,(i-1) \bmod (u+r)<u\\\rightarrow(a_{i-1}(x,y))&i\ne 0,u\le(i-1) \bmod (u+r)\end{cases} \]

令

\[S_{\text{Good}}=\{(x,y)\in S:\exists t \in \mathbb{N},a_t(x,y)\in\{(i,j)\in S:i=1\}\} \]

对于给定序列 \(\{s\}_{i=1}^{n}\)，及正整数 \(n,u,r\)，令

\[F(n,s,u,r)=|S_{\text{Good}}| \]

还有 \(q\) 个正整数对 \(\{(\mathrm{pos}_i,x_i)\}_{i=1}^{q}\)，令

\[s^{(v)}_i=\begin{cases}s_i^{(v-1)}&i\ne \mathrm{pos}_v\\x_v& i=\mathrm{pos}_v\end{cases},v>0 \]

给了你 \(n,u,r,s^{(0)}\)，你需要对于 \(v=0\dots q\)，计算出

\[\mathrm{ans}_v=F(n,s^{(v)},u,r) \]

solution

记 \((x_1,y_1)<(x_2,y_2)\) 当且仅当 \(x_1<x_2\lor(x_1=x_2\land y_1<y_2)\)。

记 \((x_1,y_1)=(x_2,y_2)\) 当且仅当 \(x_1=x_2\land y_1=y_2\)。

记 \((x,y)_x=x\)，\((x,y)_y=y\)

结论1：答案具有单调性，即证：

对于 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in S\)，若 \((x_1,y_1) \le (x_2,y_2)\Leftrightarrow x_1<x_2\lor(x_1=x_2 \land y_1\le y_2),(x_2,y_2)\in S_{\text{Good}}\to(x_1,y_1) \in S_{\text{Good}}\)。

证

首先显然 \(\uparrow(x_1,y_1)\le\uparrow(x_2,y_2),\rightarrow(x_1,y_1)\le\rightarrow(x_2,y_2)\)。

于是 \(a_t(x_1,y_1) \le a_t(x_2,y_2)\)，又 \(\exists t \in \mathbb{N},a_t(x_2,y_2)\in\{(i,j)\in S:i=1\}\)，于是对于某个 \(j\)，\(a_t(x_1,y_1) \le (1,j)\)。

得证

结论2：\(\forall u+1<i \le n,j \le s_i,i,j\in \mathbb{Z}_+,a_{u+r}(i,j)\ge (i,j)\to (i,j) \notin S_{\text{good}}\)

证：

\[\forall t>u+r,a_{t}(i,j)\ge (i,j) >(1,s_1) \]

得证

（如果你只是想做题可以不用看这个）Lemma：令 \(\mathrm{id}(i,j)=\sum_{k=1}^{i-1}s_k+j\)，则\(\forall i \le n,j \le s_i,i,j \in\mathbb{Z}_+,\mathrm{id}(a_{u+r}(i,j))-j< \mathrm{id}(a_{u+r}(i,1))\)

证：显然

Lemma\(^\prime\)：\(\mathrm{id}(x_1,y_1)<\mathrm{id}(x_2,y_2)\Leftrightarrow (x_1,y_1) \le (x_2,y_2)\)

证：显然

结论3：\({\exists p \le n,p\in \mathbb{Z}_{+},S_{\text{good}}=\{(i,j)\in S:i \le p\}}\)

证（可以不用看）

只需证明 \(\forall i \le n,j_1,j_2 \le s_i,i,j_1,j_2 \in\mathbb{Z}_+,(i,j_1)\in S_{\text{good}}\to (i,j_2)\in S_{\text{good}}\) 即可。

考虑数学归纳法，\(i \le u+1\) 时显然正确。

对于 \(i>u+1\)，\(1\sim i-1\) 都有该性质。

若 \(\exists 1\le j \le i,(j,1) \notin S_{\text{good}}\)，则对于 \(i\) 一定有 \((i,1)\notin S_{\text{good}}\)，可以归纳。

否则考虑 \(a_{u+r}(i,j)\)，若 \(a_{u+r}(i,j)<(i,1)\)，则 \(a_{u+r}(i,j) \in S_{\text{good}}\)，若 \(a_{u+r}(i,j)\ge (i,j)\)，\((i,j)\notin S_{\text{good}}\)，那么有 \(a_{u+r}(i,1)\ge (i,1)\)（由 Lemma），于是 \((i,1)\notin S_{\text{good}}\)，矛盾。

还剩一种情况，即 \((i,1)\le a_{u+r}(i,j) <(i,j)\)。

由于不存在 \(a_{u+r}(i,j) \ge(i,j)\)，于是存在 \(t\)

\[a_{(u+r)t}(i,j)<(i,1) \]

得证

省流：答案是一段后缀，不存在一个行内同时有好的和不好的。

于是我们可以转化成计算

\[p=\min\left\{x\in \mathbb{Z}_+: \begin{aligned} &u+1< x\le n,\\&\sum_{k=x-u}^{x-1}s_k>r\end{aligned}\right\} \]

特殊的，规定 \(\min\varnothing=n+1\)。

然后答案是 \(\sum_{i=1}^{p-1}s_i\)。

直接线段树维护即可。