2017.3.10组合数学学习——多重集合的排列、组合，有限概率
多重集合的排列
定理：设S是多重集合，他有k种不同类型的对象，每一种类型的有限重复数是n1，n2，n3，…nk。设S的大小为n=n1+n2+n3+…nk。则S的n排列数目为n!/(n1!n2!n3!…nk!)
证明：
先从S中选出n1个位置放a1，有C（n，n1）种放法，再选出n2个位置放a2，有C（n-n1，n2）种放法……
由乘法原理得：
S的排列个数=C（n，n1）*C（n-n1，n2）*C（n-n1-n2，n3）*…*C（n-n1-n2-…-nk-1，nk）
∵C（n，r）=p（n，r）/r！=n！/[r!*(n-r)!]
∴原式= n！ (n-n1)! (n-n1-n2-…-nk-1)!
--------- * ----------- * … *----------------------
n!(n-n1)! n2!(n-n1-n2)! nk!(n-n1-n2-…-nk)!
去公因式可得证
如果S只有2种对象a1，a2，重复数分比为n1，n2，其中n=n1+n2
那么由以上定理可得
S的排列数=n！（n1!n2!）=n!/[n1!*(n-n1)!]=C(n,n1)
所以C（n，n1）即可以看做n对象集合的n1子集数量，
也可以看做有两种类型的对象且重复数分别是n1和n-n1的多重集合排列数
定理：设n是正整数，并设n1，n2，…，nk，是正整数，且n=n1+n2+…nk。把n对象集合划分为k个标有标签的盒子，且第1个盒子含有n1个对象，第2个盒子含有n2个对象，…，第k个盒子含有nk个对象，这样的划分方法数=n！（n1！n2！…nk！）
如果盒子没有标签，且n1=n2=n3=…=nk，那么划分数=n！（k！n1!n2!…nk！）
定理：有k种颜色的n个车，第一种颜色有n1个，第二种颜色有n2个，…，第k种颜色有nk个。把这些车放在一个n*n的棋盘上使车之间不能互相攻击的方案数=（n！）²/（n1！n2！…nk！）
所以，一种颜色的n个车有n！种方法，n种颜色的n个车有（n！）²个
感性认知：
放置n个同颜色的车与n的排列有一一对应关系。即n的排列有n！种，每种排列放置的行不一都是一种新方案。颜色限制，相当于多重集合S的n排列。
注：以上所有公式前提：n=n1+n2+…nk
若两边不相等时
例：S={3*a，2*b，4*c}，求S的8排列数
解：S的集合可被划分为3个部分，由多重集合排列公式可得：
① 少一个a：s1=8！/（2！*2！*4!）
② 少一个b：s2=8！/（3！*1！*4!）
③ 少一个c：s3=8！/（3！*2！*3!）
ans=s1+s2+s3
错解：s1=6！/（2！*4！）*C（7,2）
订正：s1=6！/（2！*4！）*[C（7,2）+C（7,1）]
因为2个a可以挨着
多重集合的组合
定理：设S是有k种类型对象的多重集合，每种元素均具有无限重复数。那么S的r组合的个数
=C（r+k-1，r）=C（r+k-1，k-1）
证明：
设S={∞*a1,∞*a2,…,∞*ak}，使得
S的任意r组合呈{x1*a1,x2*a2…,xk*ak}的形式，其中x1,x2,…,xk均为非负整数，且x1+x2+…+xk=r。反过来，每个满足x1+x2+…+xk=r的非负整数序列x1，x2，…，xk对应于S的一个组合。因此，S的r组合个数=方程x1+x2+…+xk=r的解的个数。
我们证明，这些解的个数=有两种那个不同类型对象且有r+k-1个对象的多重集合
T={r*1，（k-1）*0}
的排列的个数。
给定T的一个排列，k-1个0把r个1分为k组，第1个0左边有x1个1，第1个0和第2个0中间有x2个1，……第k-1个0右边有xk个1。于是，x1，x2，…，xk是满足x1+x2+…xk的非负整数。反之成立。把上述步骤倒推并构造T的一个排列，
于是多重集合S的r组合数目=多重集合T的排列的个数
=（r+k-1）！/（r！*（k-1）！）=C（r+k-1，r）
证毕
可以通过对xi的限制来达到对每种类型的对象出现次数的限制
例：设S是有4种类型的对象a，b，c，d的多重集{10*a，10*b,10*c,10*d}。每一种类型的对象至少出现一次的S的10组合的个数是多少
解：①分析出可以忽略S中重复数10的限制
②ans=x1+x2+x3+x4=10的正整数解的个数
③另y1=x1-1，y2=x2-1，y3=x3-1，y4=x4-1
则方程变为y1+y2+y3+y4=6 ，yi为非负整数
所以ans=C（6+4-1,6）
组合中每种类型出现下界都可以通过变量替换处理
例：方程x1+x2+x3+x4=20 ，x1>=3,x2>=1,x3>=0,x4>=5
的解的个数是多少
解：y1=x1-3,y2=x2-1,y3=x3,y4=x4-5
方程转化为 y1+y2+y3+y4=11
所以ans=C（11-4+1,11）
这里都是给出了x的下界，x若是给出上界不能这样处理
给出上界需要结合容斥原理
有限概率
特点：结果有限，每个结果等可能
例1：设n是正整数。假设在1和n之间随机选出一个整数序列i1,i2，…,in
（1）这个选出的序列是1，2,3，…，n的排列的概率是多少
（2）这个序列正好含有n-1个不同的整数的概率是多少
解：（1）样本空间|S|=n^n，事件集合|E|=n！ 所以ans=n！/n^n
（2）题目理解：n-1个整数不同，即有1个整数出现了2次，有1个整数没有出现
将n个数分为3类：
① 没有出现的整数，有n种可能
则② 出现2次的整数，有n-1种可能，他的出现位置有C（n，2）种
则③剩下的n-2个整数 ，放置方式有（n-2）！种
所以ans=n*（n-1）*C（n，2）*（n-2）！
例2:5个彼此相同的车随机放置在8*8棋盘的非攻位置上，这些车既在行1,2,3,4,5又在列4,5,6,7,8上的概率是多少
解：样本空间|S|=棋盘上放5个非攻车的方案数=C（8,5）*5！
事件|E|=5！
所以ans=5！/（C（8,5）*5！）
C（8,5）:从8个行坐标，8个列坐标选出5个行坐标，5个列坐标的方案数
|S|中 5！对选出来的每组行列坐标，列坐标排列分配给行坐标的方案数
联想上面n个相同的车放n*n期盼方案数为n！，因为选出n个行坐标，n个列坐标的方案数为1
|E|中 5！：有5！中方法把这5个车放到5*5棋盘上
