codeforces 1197D. Yet Another Subarray Problem(dp)

传送门

题意：

给出一个长度为\(n\)的数组\(a\) ,对于一段区间\([l,r]\) ,其值为 \((\sum\limits_{i=l}^{r} a_i)-k \times \lceil \frac{r-l+1}{m} \rceil\)

求数组中最大的区间的值。\((m\leq 10)\)

题解：

\(dp\) ,状态设计很妙。

不难发现，每\(m\)个数，就会增加一个\(k\) ,又因为\(m\)很小，所以设计这样一个\(dp\)方程：

设\(dp[i][j]\)表示以 \(i\)为结尾，区间长度满足 \((len-1)\%m+1=j\) 。

当 \(j=1\)​时，转移为：\(dp[i][j]=max(dp[i-1][m]+a[i]-k,a[i]-k)\)

反之，\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+a[i]\) 。

对于类似的题目，其实只要分析出跟什么东西有关，并且数字比较小的话，设计\(dp\)数组的时候可以往取模的方向思考。

代码：

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 3e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
ll dp[MAXN][15];
ll a[MAXN];
int main()
{
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    ll ans = 0;
    dp[0][m] = 0;
    for (int i = 1; i <= m - 1; i++) {
        dp[0][i] = -1e18;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (j == 1) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][m] + a[i] - k, a[i] - k);
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + a[i];
            }
            ans = max(ans, dp[i][j]);
        }
    }
    cout << ans << endl;
}