Codeforces Round #694 (Div. 1) B. Strange Definition(质因子分解)

题意：

给出一个数组，相邻的数的定义为 $lcm(x,y)/gcd(x,y)$ 为完全平方数。

每秒钟数组中每个数都变为所有相邻的数相乘。$d_i$表示第$i$个数的相邻数的个数。给出$q$ 次询问，每次查询数组中最大的$d_i$ 是多少。

题解：

因为 $lcm(x,y)=xy/gcd(x,y)$

$lcm(x,y)/gcd(x,y)=xy/gcd(x,y{)}^2$

$lcm(x,y)/gcd(x,y)\cdot gcd(x,y{)}^2=xy$

因为 $lcm(x,y)/gcd(x,y)$ 是完全平方数，所以$xy$也是完全平方数。所以就把题目转化为对于$x$ ，数组中有多少个数$y$ ，使得相乘为完全平方数。考虑将$x$ 质因子分解，那么$x$ 的质因子中奇数次幂就必须要变成偶数次幂，那么就把所有的奇数次幂的质数相乘的数$z$来代表$x$ ，如果存在一个数$y$ 求出来的数也是$z$ ，代表$xy$相乘是完全平方数。

假设 $xy$ ,$xk$ 是完全平方数，那么 $x^{2}yk$ 是完全平方数，那么$yk$是完全平方数，说明具有传递性。也就是可以把数组分成几个集合。

接着来看，过了一秒后，奇数个数的集合相乘保持不变，但偶数个数的集合最后都成为完全平方数，也就是都会变成一类集合。那么只要去维护$0s$和其他秒​的最大值即可。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=1e6+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int prime[MAXN],cnt;
int isprime[MAXN];
int a[MAXN];
map<int ,int >mp;
void getprime(int n)
{
    for(ll i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            isprime[i]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    getprime(1e6);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        mp.clear();
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            int temp=a[i];
            int pre=isprime[temp];
            int cnt=0;
            int sum=1;
            while(temp!=1)
            {
                if(isprime[temp]==pre)
                {
                    cnt++;
                }
                else
                {
                    if(cnt&1) sum=sum*pre;
                    cnt=1;
                }
                pre=isprime[temp];
                temp/=isprime[temp];
            }
            if(a[i]!=1&&cnt&1)
            {
                sum=sum*pre;
            }
            mp[sum]++;
        }
        int cnt1=0,cnt2=0;
        int ans=0;
        for(auto i:mp)
        {
            ans=max(ans,i.second);
            if(i.second%2==1) cnt1=max(cnt1,i.second);
            if(i.second%2==0||i.first==1)cnt2+=i.second;
        }
        cnt2=max(cnt1,cnt2);
        int q;
        scanf("%d",&q);
        while(q--)
        {
            ll s;
            scanf("%lld",&s);
            if(!s) printf("%d\n",ans);
            else printf("%d\n",cnt2);
        }
    }
}