Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 ( Div. 1 + Div. 2) F. Pairwise(树状数组)

题意：

给出一个数组$a$​ ,定义 $f(k)=\sum _{i,j\le k}{a}_i\%a_j$​。 对于$k$​从1到$n$​ ,输出$f(k)$​

题解：

首先，$k$变到$k+1$的过程中，增加了数$a_{k+1}$ ,那么只需在$f(k)$的基础上，再去计算$a_{k+1}$的贡献即可。

那么怎么计算这个数的贡献呢？分两种情况计算。

$1.$ 当$a_{k+1}$ 放后面时，我们利用树状数组找出比$a_{k+1}$ 小的数，那么这些数对$a_{k+1}$取模还是自己本身，所以求这些数的总和即可。对于比$a_{k+1}$ 大的数，我们可以枚举区间 $[t{a}_{k+1},(t+1)a_{k+1}-1]$ ,计算出这个区间里面有多少个数，记为$cnt$，同时也计算出这个区间内的数的总和$sum$ ,那么这个区间里面的数对$a_{k+1}$ 取模的答案就是 $sum-cnt\cdot t{a}_{k+1}$

$2.$​​ 当$a_{k+1}$​​放前面时，也可以利用树状数组求出大于$a_{k+1}$​​ 的数的个数,记为$cnt$，那么$a_{k+1}$ 对这些数取模还是$a_{k+1}$ ,答案就是$cnt\cdot a_{k+1}$ 。对于比$a_{k+1}$ 小的数，记为$x$ ,我们可以先对这些数预先做以下操作：$tree[t\cdot x]+=x$ 。

然后再查询出前缀$sum(tree[a_{k+1}])$ ，假设比$a_{k+1}$小的数有$y$个 那么答案就是 $y\cdot a_{k+1}-sum(tree[a_{k+1}])$​ 。

例如 ：对于 1 2 5 ，1现在1 2 3 4 5所有位置加上了1 ，2在2 4 位置加上了2 ，那么5%1+5%2就可以变成 5-(1+1+1+1+1)+5-(2+2) 。其实就是预先求出 $x/y\cdot y$ ,那么模数只要相减即可。

代码：

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=3e5+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
ll tree[MAXN][3];
int a[MAXN];
int n=300000;
int lowbit(int i)
{
    return i&-i;
}
ll sum(int i,int id)
{
    ll s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=tree[i][id];
        i-=lowbit(i);
    }
    return s;
}
void add(int i,int val,int id)
{
    while(i<=n)
    {
        tree[i][id]+=val;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int main()
{
    int m;
    cin>>m;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i];
        ans+=sum(a[i]-1,1);
        ans+=1ll*(sum(n,0)-sum(a[i],0))*a[i];
        for(int j=2*a[i];j<=n;j+=a[i])
        {
            ans+=(sum(j-1,1)-sum(j-a[i],1))-1ll*(sum(j-1,0)-sum(j-a[i],0))*(j-a[i]);
            if(j==n) break;
            if(j+a[i]>n)
            {
                ans+=(sum(n,1)-sum(j,1))-1ll*(sum(n,0)-sum(j,0))*(j);
                break;
            }
        }
        if(2*a[i]>n)
        {
            ans+=(sum(n,1)-sum(a[i],1))-1ll*(sum(n,0)-sum(a[i],0))*(a[i]);
        }
        ans+=1ll*sum(a[i]-1,0)*a[i]-sum(a[i],2);
        for(int j=a[i];j<=n;j+=a[i])
        {
            add(j,a[i],2);
        }
        add(a[i],a[i],1);
        add(a[i],1,0);
        cout<<ans<<" ";
    }
}