2021杭电多校补题(9)

1. Integers Have Friends 2.0

传送门

题意：

给出一个长度为\(n\) 的数组，选出一个最长的子序列，存在一个 \(m \geq 2\) 使得 \(a_{k1}\%m=a_{k2}\%m=a_{k3}\%m=....\)

求最长的长度。

题解：

\(codeforces\)​上的改编题，都是要往差值方向去想。

首先，当\(m=2\)时，可以发现，当我们全部选偶数或奇数时，是满足以上条件的，并且长度可以达到 \(\lceil n/2 \rceil\)​ ,

那么当我们随机两个数时，会发现他们同为答案的概率是 \(1/4\) 。

确定两个数后，根据同余定理：\((a_x -a_y) \%m=0\)​ ,那么只需枚举差值的因子当做\(m\)​​，又因为任意两个数都满足这个式子，那么\(m\)就会是他们差分之后的 \(gcd\)​ ,因此，我们只需枚举质因子当做\(m\) 即可。

对于每一个质因子，都去遍历原数组求出符合条件的所有数，假设我们随机\(k\)次，又因为题目数据范围的质因子最多 \(11\) 个, 那么复杂度就为 \(11nk+k \sqrt{maxa_i}\)​ ,那么随机40次即可。

代码：

#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=2e6+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int prime[MAXN], cnt;
int isprime[MAXN];
ll a[MAXN];
void getprime(int n)
{
    for (ll i = 2; i <= n; i++) {
        if (!isprime[i]) {
            prime[++cnt] = i;
            isprime[i] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            isprime[i * prime[j]] = prime[j];
            if (i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
const int k = 40;
#define srd srand(time(0));
#define DEV_RND ((int)rand() * RAND_MAX + rand())
int cal(int n,ll x,ll y)
{
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n;i++)
    {
        if(a[i]%x==y)
            res++;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ll c = 1;
    for (int i = 1; i <= 11;i++)
        c = c * i;
    cout << c << endl;
    srd;
    getprime(2e6);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        int n;
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n;i++){
            scanf("%lld", &a[i]);
        }
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i <= k;i++)
        {
            int x, y;
            while(1)
            {
                x = DEV_RND % n + 1;
                y = DEV_RND % n + 1;
                if(x!=y)
                    break;
            }
            ll cha = abs(a[x] - a[y]);
            for (int j = 1; j <= cnt;j++)
            {
                if(prime[j]>cha)
                    break;
                if(cha%prime[j]==0)
                {
                    ans = max(ans, cal(n,prime[j],a[x]%prime[j]));
                    while(cha%prime[j]==0)
                        cha /= prime[j];
                }
            }
            if(cha>1)
                ans = max(ans, cal(n,cha, a[x] % cha));
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
}