PID控制算法介绍

1、 PID 算法介绍

　　PID 是 Proportional（比例）、 Integral（积分）、 Differential（微分）的首字母缩写；是一种结合比例、积分和微分三种环节于一体的闭环控制算法，它是目前为止在连续控制系统中计数最为成熟的一种控制算法；在工业控制、机器人、无人机、机械臂和平衡车等领域有着极为重要的作用；该控制算法出现于 20 世纪 30 至 40 年代，至今为止经久不衰，适用于对被控对象模型了解不清楚的场合。实际运行的经验和理论的分析都表明，运用这种控制规律对许多工业过程进行控制时，都能得到比较满意的效果。 PID 控制的实质是对目标值和实际值误差进行比例、积分、微分运算后的结果用来作用在输出上。
　　在工业过程中，连续控制系统的理想PID控制规律为：

　　• Kp——比例增益， Kp 与比例度成倒数关系
　　• Tt——积分时间常数
　　• TD——微分时间常数
　　• u（t）——PID 控制器的输出信号
　　• e（t）——给定值 r（t）与测量值误差

　　闭环控制是根据控制对象输出反馈来进行校正的控制方式，它是在测量出实际与计划发生偏差时，按定额或标准来进行纠正的。比如控制一个电机的转速，就得有一个测量转速的传感器，并将结果反馈到控制路线上。提到闭环控制算法，不得不提PID，它是闭环控制算法中最简单的一种。PID是比例 (Proportion) 积分 ,(Integral) 微分 ,(Differential coefficient) 的缩写，分别代表了三种控制算法。通过这三个算法的组合可有效地纠正被控制对象的偏差，从而使其达到一个稳定的状态。 

　　比例（P）
　　成比例地反映控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，立即产生控制作用以减小偏差。比例控制器的输出u(t)与输入偏差e(t)成正比，能迅速反映偏差，从而减小偏差，但不能消除静差。静差是指系统控制过程趋于稳定时，给定值与输出量的实测值之差。偏差存在，才能使控制器维持一定的控制量输出，因此比例控制器必然存在着静差。由偏差理论知，增大虽然可以减小偏差，但不能彻底消除偏差。比例控制作用的大小除与偏差e(t)有关之外，还取决于比例系数Kp的大小。比例系数Kp越小，控制作用越小，系统响应越慢；反之，比例系数Kp越大，控制作用也越强，则系统响应越快。但是，Kp过大会使系统产生较大的超调和振荡，导致系统的稳定性能变差。因此，不能将Kp选取过大，应根据被控对象的特性来折中选取Kp，使系统的静差控制在允许的范围内，同时又具有较快的响应速度。 单纯的比例控制存在不能消除的静态误差，这里就需要积分来控制。
　　积分（I）
　　在比例控制环节产生了静态误差，在积分环节中，主要用于就是消除静态误差提高系统的无差度。积分作用的强弱，取决于积分时间常数Ti，Ti越大积分作用越弱，反之则越强。积分控制作用的存在与偏差e(t)的存在时间有关，只要系统存在着偏差，积分环节就会不断起作用，对输入偏差进行积分，使控制器的输出及执行器的开度不断变化，产生控制作用以减小偏差。在积分时间足够的情况下，可以完全消除静差，这时积分控制作用将维持不变。Ti越小，积分速度越快，积分作用越强。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。 
　　微分（D）
　　微分环节的作用能反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号的值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。积分控制作用的引入虽然可以消除静差，但是降低了系统的响应速度，特别是对于具有较大惯性的被控对象，用PI控制器很难得到很好的动态调节品质，系统会产生较大的超调和振荡，这时可以引入微分作用。在偏差刚出现或变化的瞬间，不仅根据偏差量作出及时反应（即比例控制作用），还可以根据偏差量的变化趋势（速度）提前给出较大的控制作用（即微分控制作用），将偏差消灭在萌芽状态，这样可以大大减小系统的动态偏差和调节时间，使系统的动态调节品质得以改善。微分环节有助于系统减小超调，克服振荡，加快系统的响应速度，减小调节时间，从而改善了系统的动态性能，但微分时间常数过大，会使系统出现不稳定。微分控制作用一个很大的缺陷是容易引入高频噪声，所以在干扰信号比较严重的流量控制系统中不宜引入微分控制作用。 
　　微分控制作用的阶跃响应特性对于一个恒定的偏差量，不管其数值有多大，微分控制作用均为零。因此，微分作用不能消除静差，单独使用意义不大，一般需要与比例、积分控制作用配合使用，构成PD或PID控制。 
　　对于PID控制，在控制偏差输入为阶跃信号时，立即产生比例和微分控制中作用。由于在偏差输入的瞬时，变化率非常大，微分控制作用很强，此后微分控制作用迅速衰减，但积分作用越来越大，直至最终消除静差。PID控制综合了比例、积分、微分3种作用，既能加快系统响应速度、减小振荡、克服超调，亦能有效消除静差，系统的静态和动态品质得到很大改善，因而PID控制器在工业控制中得到了最为广泛的应用。

2、 PID 算法的应用

　　PID 算法是控制领域非常常见的算法，小到控制温度，大到控制飞机的飞行姿态和速度等等，都会涉及到 PID 控制，在控制领域可以算是万能的算法。
　　以小车速度为例，你一定会发现这样一个问题，当你刚把充满的 12V 电池装在小车上时，然后在程序上给了一个固定 50% 的占空比，此时小车跑的很快动力很足，但是跑着跑着就慢了下来，因为电池电压的影响小车速度变慢了，在刚充满的时候 12V 电池 50% 的占空比相当于直接作用在电机两端的电压是 12V x 50% = 6V , 当使用一段时间后电池的电压变为 9V，虽然程序占空比没有变，但是由于电池电压降低了，所以作用在电机两端的电压也就变了，所以小车变慢了。那么怎么才能够使小车按照恒定速度行驶呢？其思想就是当小车速度慢了，就增加占空比。那么速度慢多少开始增加占空比呢？怎么增加？增加多少呢？
　　此时， PID 算法就是一个非常好的选择，对于增加多少的问题，一定要通过 PID 算法，因为速度和占空比到底是个什么关系，谁也不知道。但是此时使用 PID 算法，通过编码器的速度反馈，可以实时的知道小车的速度是否慢了，然后利用目标速度与实际速度的误差带入算法，即可获得当前占空比，达到控制速度的效果。

　　PID 算法是闭环控制系统中常用的算法， PID 分别是 Proportion（比例）、 Integral（积分）、Differential（微分）的首字母缩写。它是一种结合比例、积分和微分三个环节于一体的闭环控制算法，具体的控制流程如下图所示：

　　上图中，我们将输入目标值和实际输出值进行偏差的计算，然后把计算结果输入到 PID控制算法中，经过比例、积分和微分三个环节的运算，运算后的输出作用于执行器，从而让系统的实际值逐渐靠近目标值。
　　接下来我们以大棚温控系统为例，来理解 PID 算法中三个环节的作用。
　　（1）比例环节（ Proportion）
　　比例环节可以成比例地反应控制系统的偏差信号，即输出与输入偏差成正比，可以用来减小系统的偏差。 此环节的公式如下：

u ----- 输出
Kp ----- 比例系数
e ----- 偏差

　　我们接下来以大棚温控实例来理解这个公式。假设我们现在需要调节棚内温度为 30℃，而实际温度为 10℃，此时的偏差 e=20，由比例环节的公式可知，当 e 确定时， Kp 越大则输出u 越大，也就是温控系统的调节力度越大，这样就可以更快地达到目标温度；而当 Kp 确定时，偏差 e 越大则输出 u 越大。由此可见，在比例环节中，比例系数 Kp 和偏差 e 越大则系统消除偏差的时间越短，具体的曲线表现如下图所示：

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　比例环节曲线图

　　仅有比列作用时会有以下几个问题：

　　问题1：上图中，当 Kp 的值越大时，其对应的橙色曲线达到目标值的时间就越短，与此同时可以发现，橙色曲线出现了一定幅度的超调和振荡，这会使得系统的稳定性下降，因此， 我们在设置比例系数的时候，并不是越大越好，而是要兼顾消除偏差的时间以及整个系统的稳定性。

　　问题2：如果仅有比例环节的控制，可能会给系统带来一个问题： 静态误差（稳态误差）。静态误差是指系统控制过程趋于稳定时，目标值与实测值之间的偏差。我们以大棚温控实例来理解什么是静态误差：假设我们现在需要调节棚内温度为 30℃，而实际温度为 25℃，此时偏差 e=5， Kp 为固定值，如果此时的输出可以让大棚在半个小时之内升温 5℃，而外部的温差可以让大棚在半个小时之内降温 5℃，即降温速度和升温速度相等了，也就是说，输出 u 的作用刚好被外部影响抵消了，这就使得偏差会一直存在，此时的曲线如下图所示：

 　　　　　　　　　　　　　　　　存在静态误差

　　问题3：当比较接近目标时，P的控制作用就比较小了，因为越接近目标误差就越小，P的作用越温柔，有很多内在的或者外部的因素，使控制量发生小范围的摆动。

　　大家可能会想到，我们可以通过增大 Kp 来增大输出，以此消除偏差。在实际应用中，此方法的局限性很大，因为我们不能确定偏差的大小，它是在实时变化的，如果我们把 Kp 设置得太大，就会引入超调和振荡，让整个系统的稳定性变差。因此，为了消除静态误差，我们引入了积分环节。
　　（2）积分环节（Integral）
　　积分环节可以对偏差 e 进行积分，只要存在偏差，积分环节就会不断起作用，主要用于消除静态误差，提高系统的无差度。 引入积分环节后，比例+积分环节的公式如下：

u ----- 输出
e ----- 偏差
∑ e ----- 累计偏差
Kp ----- 比例系数
Ki ----- 积分系数

　　我们依旧以大棚温控实例来理解积分环节的作用。假设现在温控系统的比例环节作用被抵消， 存在静态误差 5℃，此时偏差存在，P兄会想我和目标已经很近了，只需要轻轻加热就可以了，D兄会想加热和散热相等，温度没有波动（误差值没有变化），我好像不用调整什么，此时积分就发挥作用了，因为积分环节会一直累计偏差，以此增大输出，从而消除静态误差。这样一来，即使5℃差值不是太大，但是随着时间的推移，只要没达到目标温度，这个积分量就不断增加，系统就会慢慢意识到：还没有到达目标温度，该增加功率啦！到了目标温度后，假设温度没有波动，积分值就不会再变动，这时，加热功率仍然等于散热功率，但是，温度是稳稳的50℃。

　　Ki的值越大，积分时乘的系数就越大，积分效果越明显，所以，I的作用就是，减小静态情况下的误差，让受控物理量尽可能接近目标值。

　　I在使用时还有个问题：需要设定积分限制，防止在刚开始加热时，就把积分量积得太大，难以控制。

　　而从上述公式中可以得知，当积分系数 Ki 或者累计偏差越大时，输出就越大，系统消除静态误差的时间就越短，具体的曲线表现如下图所示：

　　上图中，当 Ki 的值越大时，其对应的橙色曲线达到目标值的时间就越短，与此同时，橙色曲线出现了一定幅度的超调和振荡，这会使得系统的稳定性下降，因此， 我们在设置积分系数的时候，并不是越大越好，而是要兼顾消除静态误差的时间以及整个系统的稳定性。
　　我们前面有说过，只要系统还存在偏差，积分环节就会不断地累计偏差。当系统偏差为 0的时候，说明已经达到目标值，此时的累计偏差不再变化，但是积分环节依旧在发挥作用（此时往往作用最大），这就很容易产生超调的现象了。因此，我们需要引入微分环节，提前减弱输出，抑制超调的发生。
　　（3）微分环节（Differential）
　　微分环节可以反应偏差量的变化趋势，根据偏差的变化量提前作出相应控制，减小超调，克服振荡。 引入微分环节后，比例+积分+微分环节的公式如下：

𝑢𝑘 ---------- 第 k 次输出
Kp ---------- 比例系数
Ki ---------- 积分系数
Kd ---------- 微分系数
𝑒𝑘 ---------- 第 k 次偏差
𝑒𝑘−1 ---------- 第 k-1 次偏差
∑𝑘 𝑗=0 𝑒𝑗 ---------- 累计 k 次偏差

　　我们依旧以大棚温控实例来理解微分环节的作用。假设温控系统目标温度为 30℃， 在上午八点的时候存在偏差15℃，经过一段时间的调节，到了上午九点，此时偏差已经缩小到5℃，偏差的变化量= 九点的偏差（第 k 次） -八点的偏差（第 k-1 次） = -10，结合上述公式可知，此时微分环节会削弱比例和积分环节的作用，减小输出以抑制超调。

　　至此， PID 算法三个环节的作用已经介绍完，我们最终得到了 PID 算法的一个公式：

　　该公式是 PID 离散公式之一，除了离散公式之外， PID 还有连续的公式，但是因为连续的公式不利于机器计算，我们这里不做介绍。大家需要注意，在实际的应用中，并不是每一个系统都需要 PID 的三个环节参与控制的，有的系统只需要比例环节或积分环节就可以控制得很好，除此之外，每一个系统的 PID 系数并不是通用的，这需要根据实际的情况去设置。

3、PID 算法离散公式
　　（1）位置式 PID 公式（全量式 PID ）

　　该公式的计算需要全部控制量参与，它的每一次输出都和过去的状态有关。
　　（2）增量式 PID 公式
　　通过位置式的 PID 公式，我们只需两步即可推导出增量式 PID 公式：
　　第一步，将 k = k-1 代入位置式 PID 公式， 得：

　　第二步，由𝑢𝑘 -𝑢𝑘−1 得：

　　至此,增量式 PID 方式就推导完了。 从公式中可以看出， 增量式 PID 的计算并不需要一直累计偏差，它的输出与近三次的偏差有很大关系。
　　注意： 增量式 PID 公式输出的只是控制量的增量。我们以一个实例来理解这句话：假设电机实际转速为 50RPM，现在我们要让它加速到 60RPM，如果采用的是位置式 PID，系统将直接输出 60RPM 对应的控制量（占空比）；如果采用的是增量式 PID，系统将输出提速 10RPM对应的控制量（占空比），此时我们还需要加上上次（50RPM）的输出。
　　介绍完 PID 的两个离散化公式，接下来我们比较一下这两个 PID 公式的不同点，具体如下表所示：

　　（3）两种 PID 公式的优缺点

　　对比区别
　　　　• 增量式算法不需要对积分项累加，控制量增量只与近几次的误差有关，计算误差对控制量计算的影响较小。而 位置式算法要对近几次的偏差的进行积分累加，容易产生较大的累加误差；
　　　　• 增量式算法得出的是控制量的增量，例如在阀门控制中，只输出阀门开度的变化部分，误动作影响小，必要时还可通过逻辑判断限制或禁止本次输出，不会严重影响系统的工作；而位置式的输出直接对应对象的输出，因此对系统影响较大；
　　　　• 增量式算法控制输出的是控制量增量，并无积分作用，因此该方法适用于执行机构带积分部件的对象，如步进电机等，而 位置式算法适用于执行机构不带积分部件的对象，如电液伺服阀；
　　　　• 在进行 PID 控制时， 位置式 PID 需要有积分限幅和输出限幅，而 增量式 PID 只需输出限幅。
　　① 位置式：
　　　　优点：位置式 PID 是一种非递推式算法，可直接控制执行机构（如平衡小车）， u(k) 的值和执行机构的实际位置（如小车当前角度）是一一对应的，带有积分作用，适用于不带积分部件的对象。
　　　　缺点：全量计算，计算错误影响很大； 每次输出均与过去的状态有关，需要对偏差进行累加，运算工作量大。
　　② 增量式：
　　　　优点：只输出增量，计算错误影响小，必要时可用逻辑判断的方法去掉出错数据；不需要累计偏差，运算量少，控制增量 Δu(k) 的确定仅与最近 3 次的采样值有关，在速度闭环控制中有很好的实时性；手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换。
　　　　缺点：积分截断效应大，有稳态误差；溢出的影响大，有的被控对象用增量式则不太好；

4、总结

　　P用来减小误差，I用来消除静态误差，D用来抑制超调。