题解 CF385C Bear and Prime Numbers

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题意

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，定义 \(f(p)=\sum\limits_{i=1}^n\left[p|a_i\right]\)，\(m\) 次询问，求 \(\sum\limits_{i=l}^r f(i)\left[i\in\mathbf{Prime}\right]\)。

数据范围：\(1\le n\le10^6,1\le m\le 5\times 10^4,1\le a_i\le10^7,1\le l\le r\le2\times 10^9\)

题解

令 \(cnt_i=f(i)\)。

因为 \(a_i\le10^7\)，所以 \(l,r\) 超过这个范围便没意义了。

令 \(mn_i=\min\{k\in\mathbf{Prime} \land k|i\}\)，线性筛搞出来。

扫一遍原序列，每次令 \(a_i\gets \frac{a_i}{mn_{a_i}}\)，并加在 \(cnt_{mn_{a_i}}\) 上，因为 \(mn_{a_i}\ge2\)，所以最多 \(\log_{a_i}\) 次就除完，复杂度 \(O(n\log a_i)\)。

令 \(sum_i=\sum\limits_{i=1}^i cnt_i\)，查询 \(\left[l,r\right]\) 答案即为 \(sum_r-sum_{l-1}\)。

时间复杂度 \(O(n\log a_i+q)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, W = 1e7 + 10;
int prime[W], mn[W], cnt;
bitset<W> isp;
void sieve(int n) {
	mn[1] = isp[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		if(!isp[i]) prime[++cnt] = i, mn[i] = i;
		for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++) {
			isp[prime[j] * i] = 1;
			if(!(i % prime[j])) {
				mn[prime[j] * i] = prime[j];
				break;
			}
			mn[prime[j] * i] = prime[j];
		}
	}
}
int n, m;
ll f[W];
int main() {
	sieve(1e7);
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1, a; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a);
		while(a > 1) {
			int t = mn[a];
			f[t]++;
			while(!(a % t)) a /= t;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= 1e7; i++)
		f[i] += f[i - 1];
	scanf("%d", &m);
	int l, r;
	while(m--) {
		scanf("%d%d", &l, &r);
		r = min(10000000, r);
		if(l > r) {
			puts("0");
			continue;
		}
		printf("%lld\n", f[r] - f[l - 1]);
	} 
	return 0;
}