斯特林数学习笔记

第一类斯特林数，记为 $\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}$，表示 $n$ 个元素划为 $k$ 个圆排列的方案数。

递推式为 $\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}$，边界条件是 $\begin{bmatrix}n\\0\end{bmatrix}=\left[n=0\right]$。

第二类斯特林数，记为 $\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}$，表示 $n$ 个元素划分为 $k$ 个互不相交且互不区分的集合方案数。

递推式为 $\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}$，边界条件是 $\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=0]$。

考虑组合意义易证。

通项公式是 $\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\dfrac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^i\dbinom{k}{i}(k-i)^n$

证明不难，现在懒得写。

• 【ZOJ3899】State Reversing

线段树维护，$O(n\log n)$ 预处理所谓第二类斯特林数 行。

• 【HDU4372】Count the Buildings

找出 $n$ 的位置，把 $n$ 左边和右边分成 $f-1$ 组和 $b-1$ 组，每组将最大值放在外侧，因为保证组和组间最大值单调递增，所以选定如何分组后顺序会确定，然后要在这些组找出一些放在左边，一些放在右边，所以答案为 $\begin{bmatrix}n-1\\f+b-2\end{bmatrix}\cdot\dbinom{f+b-2}{f-1}$。

麻了，不想写了，放置了。

一些常用结论：

$$n!=\sum\limits_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}$$

$$x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i$$

$$x^{n}=\sum\limits_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}$$

$$x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i$$

$$x^{n}=\sum\limits_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}$$