题解 CF407C Curious Array

这个题我觉得还挺有趣的。

推式子发现走不通，如果分开考虑，我甚至对于每个数最后计算都很困难。只能考虑组合数间的递推关系。因为 $\binom{n}{m}=\binom{n}{m-1}+\binom{n-1}{m-1}$，这个题的 $n$ 又是连续递增的，考虑差分试试。

发现每次加的就是 $\binom{k}{k},\binom{k+1}{k},\cdots\binom{k+r-l}{k}$，令 $\Delta^{(1)}_i=\binom{k+i}{k}-\binom{k+i-1}{k}$，发现 $\Delta^{(1)}_i=\Delta^{(1)}_{i-1}+\binom{k+i-1}{k-1}$，令 $\Delta^{(2)}_i=\Delta^{(1)}_i-\Delta^{(1)}_{i-1}$，现在变成了在 $\Delta^{(2)}$ 上区间加 $\binom{k+i-1}{k-1}$ 了，我们通过一次差分，使问题的 $k$ 减小了 $1$。依此类推 $\Delta^{(3)},\Delta^{(4)},\cdots,\Delta^{(k)}$。

因为 $k\le 100$，所以最多 $100$ 次可以使 $k$ 变为 $0$，这时就变成区间 $+1$ 了，再差分一次就结束。

每次要在差分序列上 $r+1$ 位减去 $[l,r]$ 所有新加的值之和，保证差分的正确性，而这个区间和恰是上一个差分序列第 $r$ 位的值，即一个确定的组合数，预处理即可。

时空复杂度 $O(nk+mk)$。