impluse

P9060 [Ynoi2002] Goedel Machine

分别对每个质因数计算贡献。

大于 $\sqrt w$ 的质因数最多只有一个，考虑根号分治。

对于 $p\le \sqrt w$，考虑每个询问，求出 $[l,r]$ 中 $p$ 的倍数个数为 $k$，于是 $ p|\gcd S$ 的 $S$ 有 $2^{k}-1$ 个，对答案的贡献为 $p^{{2^k}-1}$，再考虑 $p^2,p^3,\cdots $，因为考虑 $p^x$ 时 $p^1\sim p^{x-1}$ 都已计算过贡献，只需乘上这次的 $p^{2^k-1}$。预处理 $k\in[0,n],p^{2^k}$ 和 $p^{-1}$ 即可快速计算贡献。由质数分布的离散性得时间复杂度 $O((n+m)\frac{\sqrt w}{\log w}\log n)=O(n\sqrt w+m\sqrt w)$，离线即可做到空间复杂度 $O(n+m+w)$。

对于 $p>\sqrt w$，所有 $p$ 的倍数个数不超过 $n$，同上处理 $k\in[0,cnt_p],p^{2^k}$ 以及它们的逆元，直接上莫队即可。时间复杂度 $O(n\sqrt m)$。

综上，时间复杂度 $O(n\sqrt w+m\sqrt w+n\sqrt m)$，空间复杂度 $O(n+m+w)$。