题解 CF1901F Landscaping

使梯形面积最小，即保证答案合法同时，直线在 $x=\frac {n-1}2$ 处的 $y$ 尽量小。记 $mid=\frac{n-1}2$。

容易发现直线一定至少过两个折点，否则一定可以通过顺时针或逆时针旋转减小 $y_c$，直到碰到另一个点。又因为所有点都在这条直线下方，所以答案直线一定是凸包某条线段的所在直线。因为让 $y_{mid}$ 最小，更进一步地，是凸包过 $mid$ 的线段所在的直线。于是我们解决了没有修改的问题。

加上修改，似乎要支持一个合并凸包的操作。但我们只关注跨越 $mid$ 的那条线段，先看如何处理左半边的答案。

设当前时刻为 $i,i\in[0,\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor)$。暴力想法是枚举左半边的点和右半边的点共 $O(n^2)$ 条线段，算出 $y_{mid}$ 最大值，对应的线段一定在凸包上。发现有效的线段很少，对于左边的某点 $P$，它最优的匹配点一定在右半边的凸包上，换句话说，是 $P$ 与右半边凸包的切点，于是可以二分求得。

记 $g(x,y)$ 为过 $(x,y)$ 点的切线，$f(L)$ 为直线 $L$ 在 $mid$ 处的值，则 $ans_i=\max(\max\limits_{j=0}^ i f(g(j,b_j)),\max\limits_{j=i+1}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}f(g(j,a_j)))$，预处理前缀后缀 $\max$ 即可。

右半边的做法类似，时间复杂度 $O(n\log n)$。