Kruskal 重构树

感谢 Alex_Wei 的博客，让我受益匪浅。

回忆 Kruskal 算法的过程，按边权从小到大排序，若当前边 $u,v$ 在当前图上还不连通，则加入该边，并查集维护这个过程。

Kruskal 重构树就是在加入 $(u,v)$ 时，建立虚点 $x$，令点权 $w_x=w(u,v)$，建边 $x\to id_u$ 和 $x\to id_v$，并将 $id_u,id_v$ 设为 $x$。这样得到一棵 $2n-1$ 个点的二叉树，初始的节点都是树上的叶子，且满足大根堆的性质。

一个应用是求出 $u$ 只经过边权 $\le x$ 的边最多可以到达多少个节点。因为 $w_{fa_u}\ge w_u$，可在重构树上倍增，找到 $u$ 深度最浅的祖先 $f$ 满足 $w_f\le x$，答案为 $f$ 的子树内的叶子个数。

当问题变为点权的限制后，也可以用重构树解决。一种解决方法是将 $w(u,v)$ 设为 $\max(w_u,w_v)$，然后用边权的方法做。

存在另一种不需要建虚点的建树方法。按点权从小到大排序，设当前考虑到点 $i$，遍历每条边 $(i,u)$，若 $u$ 已被考虑过即 $w_u\le w_i$，且 $i,u$ 不连通，则建边 $i\to id_u$。这样构造显然也满足大根堆的性质，但是它是一棵多叉树。

例题

CF1797F Li Hua and Path

求出满足一类限制，满足二类限制，满足一类和二类限制的答案 $A,B,C$，答案即为 $A+B-2C$。

考虑加入父亲为 $x$ 的点 $i$ 对 $A,B,C$ 的影响。$B$ 增量显然是 $i-1$，$A$ 和 $C$ 的增量相同，设 $c_i$ 表示有多少条路径 $u\to i$ 满足 $u$ 是路径上的最小值，$A$ 增量就是 $c_i$。考虑 $c_i$ 如何转移，因为若路径 $u\to x$ 满足 $u$ 是路径最小值，则 $u\to i$ 一定也满足，再加上路径 $x\to i$，即 $c_i=c_x+1$。综上，每次增量为 $i-1-c_i$。

于是只需处理初始的 $A,B,C$ 和 $c_i$ 即可。建出小根堆和大根堆的点权多叉重构树 $T_{\min}$ 和 $T_{\max}$。点 $i$ 对 $A,B$ 的贡献是 $i$ 分别在 $T_{\min}$ 和 $T_{\max}$ 的 $siz_i-1$，因为子树内的点都是可以满足 $\le i$ 或 $\ge i$ 的限制到达的。$c_i$ 就是 $i$ 在 $T_{\min}$ 上的深度。$C$ 也就是统计有多少 $x,y$ 满足 $x$ 在 $T_{\min}$ 上是 $y$ 的祖先，$y$ 在 $T_{\max}$ 上是 $x$ 的祖先，这个树状数组随便计算就好了。复杂度 $O(n\log n)$。

P4768 [NOI2018] 归程

这个就是上述的经典应用。建出 Kruskal 重构树，找到第一个 $f$ 满足 $w_f>S$，在 $f$ 的子树内找 $dis_i$ 最小值即可。