P9142 [THUPC 2023 初赛] 欺诈游戏

纳什均衡板题。

无论对方放或猜什么数，期望收益均相等。

对于走私者，若对面猜 $i$，期望收益为 $\dfrac i 2\sum\limits_{j=0}^{i-1}p_j +\sum\limits_{j=i+1}^nj\cdot p_j$。把 $i$ 和 $i-1$ 代入可得 $i\cdot p_i=\dfrac 1 2\sum\limits_{j=0}^{i-2}p_j+\dfrac i 2 p_{i-1}$，即 $p_i=\dfrac 1 {2i}\sum\limits_{j=0}^{i-2}p_j+\dfrac 1 2 p_{i-1}$。

对于检察官，若对面放 $i$，期望收益为 $i\sum\limits_{j=0}^{i-1}p_j +\sum\limits_{j=i+1}^n \dfrac j 2 \cdot p_j$。把 $i$ 和 $i-1$ 代入可得 $\dfrac 1 2i\cdot p_i=\sum\limits_{j=0}^{i-2}p_j+i\cdot p_{i-1}$，即 $p_i=\dfrac {2}{i}\sum\limits_{j=0}^{i-2}p_j+2p_{i-1}$。

用 $p_0$ 表示出 $p_i$，再用 $\sum p_i=1$ 求出 $p_0$ 即可。$O(n)$。