最长单调子序列（DP）
问题描述：给定某一组无序的数，求其中最长的单调序列的长度（该单调序列不一定是连续的），如在 5 6 1 2 4 7 5 中最长上升增序列是1 2 4 7 或者1 2 4 5。
该题可以用动态规划的方法解决，时间复杂度为O（n^2）：
设A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度。
动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} ，其中( j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] =< A[t] )。 （注意：这篇文章我们假设是非严格单调上升，如果严格作单调上升则为：A[j] < A[t]，下同）
通过以上公式求得最长上升子序列的长度为max( F(t) )。
printResultSeq函数通过递归的方法来打印出所有的最长子序列。
参考代码：
1 //seq：保存当前已经计算好的序列，(从后往前计算); 2 //len：最长子序列的长度; 3 //tmpresult：当前要求得子序列长度; 4 //end：在F中查找长度为tmpresult的位置，查找范围为[0,end); 5 //A:原始序列; 6 //F :对应正文算法分析中的F; 7 void printResultSeq(int A[],int F[],int end,int tmpresult,int seq[],int len) 8 { 9 for(int i=0;i<end;i++) 10 { 11 if(tmpresult==F[i] && A[i]<=seq[tmpresult+1]) 12 { 13 seq[tmpresult]=A[i]; 14 if(tmpresult==1) 15 { 16 for(int k=1;k<=len;k++) 17 cout<<seq[k]<<","; 18 cout<<"end"<<endl; 19 return; 20 } 21 22 printResultSeq(A,F,i,tmpresult-1,seq,len); 23 24 } 25 } 26 } 27 28 int fun( int A[] ,int n) 29 { 30 int *F=new int[n+1]; 31 int result=0; 32 F[0]=1; 33 for(int i=1;i<n;i++) 34 { 35 F[i]=1; 36 for(int j=0;j<i;j++) 37 { 38 if(A[i]>=A[j]) 39 F[i]=max(F[i], F[j]+1); 40 } 41 if(result<F[i]) 42 result=F[i]; 43 } 44 45 //////////////////print all result 46 int *seq=new int[result+2]; 47 seq[result+1]=numeric_limits<int>::max(); //the max of int 48 printResultSeq(A, F, n, result,seq,result); 49 50 return result; 51 }
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下面是改进后的O（nlogn）的算法：
我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1)x < y < t
(2)A[x] < A[y] < A[t]
(3)F[x] = F[y]
此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？
很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
从以上的分析中我们得出一个结论：
如果我们知道A[0:t-1]的最长单调上升子序列的长度为 k，以及所有长度为k的上升子序列中结尾元素的最小值（记为b[k]），我们的关键是维护这个数组b[]
那么 如果A[t]>=b[k], 则 A[0:t]的最长单调上升子序列的长度为k+1，且b[k+1]=A[t] ; （结论1）
如果A[t]<b[k], 则 A[0:t]的最长单调上升子序列的长度为k：若A[t]<b[1]，则b[1]=A[t]，
若b[1]=< A[t] =<b[k] ，由“结论1”可知数组 b 是有序的，用二分法插之后到下标 j 使得b[j-1]=<A[t]<b[j]，把b[j] 的值变为A[t]
参考代码：
1 int binary(int b[],int k,int key) 2 { 3 if(key<b[1])return 1; 4 int low=1,high=k; 5 while(low!=high-1) 6 { 7 if( b[k=(low+high)/2] <= key )low=k; 8 else high=k; 9 } 10 return high; 11 } 12 13 int fun2(int A[] ,int n) 14 { 15 int *b=new int[n+1],k=1; 16 b[1]=A[0]; 17 for(int i=1;i<n;i++) 18 { 19 if(A[i]>=b[k])b[++k]=A[i]; 20 else b[binary(b,k,A[i])]=A[i]; 21 } 22 return k; 23 }
对于该算法怎么打印所有结果还没有研究？？？？？？？
还有另一种做法，先对原数组排序得到A1，然后求A和A1的最长公共子序列
可参考编程之美2.16 求数组中最长递增子序列
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