CF399B Red and Blue Balls
题目
思路
很容易发现,栈中靠上的蓝色球的出栈,对它下方的蓝色球没有影响.
举个例子:
第一步中靠上的蓝色球在第三步出栈了,这一过程对它下面的蓝色球(即第一步中靠下的蓝色球)没有产生影响.
这启示我们由上到下分别计算每一颗(初始状态下的)蓝色球出栈需要的步数,再相加得到答案.
不妨设\(f(x)\)表示离栈顶距离为\(x\)的蓝色球出栈需要的步数,那么上面的样例的答案即为\(f(2)+f(3)\),即"离栈顶距离为\(2\)的蓝色球出栈所需步数\(+\)离栈顶距离为\(3\)的蓝色球出栈所需步数".
接下来的问题就是求\(f(x)\)函数的值.
显然\(f(1)=1\),即如果该球在栈顶,出栈需要\(1\)步操作.
考虑更一般的情况,我们会发现一个蓝色球想出栈的第一步,一定是将该蓝色球所在位置变为红色球,再将上方所有红色球变为蓝色球.
例如上面例子中的\("3\rightarrow4"\)这一步,原在从顶到下第三个位置的蓝色球想出栈,第一步就是把从顶到下第三个位置变为红色球,同时把从顶到下第一/二个位置变为蓝色球.
于是可以得到递推方程:
\[f(x)=f(1)+f(2)+...+f(x-1)+1\quad(x\geq2)
\]
也就是说,从顶到下第\(x\)个位置的蓝色球想出栈,等效于先走一步变为 "\(x\)位置红,\(1...x-1\)位置蓝",再让\(1...x-1\)位置的蓝色球依次出栈.
由于这道题数据范围较小,我们当然可以\(O(n^2)\)计算所有\(f(x)\)的值,但我们也可以推推通项公式.
由递推式,有
\[f(i-1)=f(1)+f(2)+...+f(i-2)+1
\]
所以
\[f(i)=f(1)+f(2)+...+f(i-2)+f(i-1)+1
\]
\[f(i)=[f(1)+f(2)+...+f(i-2)+1)]+f(i-1)
\]
\[f(i)=2\times f(i-1)
\]
所以
\[f(i)=2^{i-1}
\]
所以
\[ans= \sum_{if \space s[i]==B} (2^{i-1})
\]
实际代码中,需要注意字符串的下标从\(0\)开始.
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long ans,p;
string s;
int main()
{
cin>>n>>s;
for(int i=0;i<s.size();i++)
{
p= i==0? 1 : p*2;
if(s[i]=='B')
ans+=p;
}
cout<<ans;
return 0;
}
