树状数组之单点修改并求全局第K小

树状数组模板如下

可实现建树、查询、倍增求第K小

class Fenw {
public:
    int n;
    vector<int> c;
    Fenw(int size) {
        n = size;
        c.resize(n+1, 0);
    }
 
    void add(int i, int x) {
        while (i <= n) {
            c[i] += x;
            i += i & -i;
        }
    }
 
    int query(int i) {
        if (i <= 0) return 0;
        int s = 0;
        while (i) {
            s += c[i];
            i -= i & -i;
        }
        return s;
    }
 
    int kth(int k) {
        int idx = 0;
        for (int i = 21; i >= 0; i--) {
            int nxt = idx + (1 << i);
            if (nxt > n) continue;
            if (c[nxt] < k) {
                k -= c[nxt];
                idx = nxt;
            }
        }
        return idx + 1;
    }
};

小知识：权值数组

一个序列 a 的权值数组 b，满足 b[x] 的值为 x 在 a 中的出现次数。

例如：a = (1, 3, 4, 3, 4) 的权值数组为 b = (1, 0, 2, 2)。

很明显，b 的大小和 a 的值域有关。

若原数列值域过大，且重要的不是具体值而是值与值之间的相对大小关系，常 离散化 原数组后再建立权值数组。

另外，权值数组是原数组无序性的一种表示：它重点描述数组的元素内容，忽略了数组的顺序，若两数组只是顺序不同，所含内容一致，则它们的权值数组相同。

对于数据范围过大时，需要考虑离散化，并加入树状数组中。具体操作为：
1.将原数组离散化，并把所有操作离线后加入离散化的权值数组
2.对于原数组的单点修改，如$a[x]$a[x] 从$y$ 修改为 $z$，转化为对权值数组 $b$ 的单点修改就是 $b[y]$ 单点减 $1$，$b[z]$ 单点加 $1$。
3.对于查询第 $k$ 小，考虑二分 $x$，查询权值数组中 $[1, x]$ 的前缀和，找到 $x_0$ 使得 $[1, x_0]$ 的前缀和 $< k$ 而 $[1, x_0 + 1]$ 的前缀和 $\ge k$，则第$ k$ 大的数是 $x_0 + 1$（注：这里认为 $[1, 0]$ 的前缀和是 $0$）。

e.g.

	cin>>n>>q;
    vector<int> a(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    vector<pii> op(q+1);
    vector<int> cp=a;
    vector<int> all=a;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int x,y;cin>>x>>y;
        op[i]={x,y};
        cp[x]+=y;
        all.push_back(cp[x]);
    }
    
    sort(all.begin()+1,all.end());
    all.erase(unique(all.begin(),all.end()),all.end()); //注意去重
    
    auto get=[&](int x){
        return lower_bound(all.begin(),all.end(),x)-all.begin();
    };
    
    Fenw Fenw((int)all.size());
    cp=a;
    
    //建树，此时将all数组离散化，存储的是某个值出现的位置
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int idx=get(cp[i]);
        Fenw.add(idx+1,1);
    }
    
    int K=(n+1)/2;
    
    vector<int> ans;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int fi=op[i].first,se=op[i].second;
        
	//将对原数组的修改体现在树状数组中
        int x=cp[fi];
        int y=get(x);
        Fenw.add(y+1,-1);
        
        int tx=x+se;
        cp[fi]=tx;
        int ty=get(tx);
        Fenw.add(ty+1,1);
        
	//查询在K+1位置下的值
        int cnt=Fenw.kth(K+1);
	//查询比cnt小的位置有多少个值
        ans.push_back(Fenw.query(cnt-1));
    }