[CF1559D2]Mocha and Diana(hard version)

Mocha and Diana

题解

我们可以将题目转化一下，我们的每个点在两个森林中肯定分别属于两个集合，设为 $x, y$ ，我们可以用一个点表示这个点所属的集合 $(x, y)$ 。
我们相当于每次要找到两个 $x, y$ 都不一样的点，将这两行与这两列合并。
就像普通的 $K r u s k a l$ 一样，容易发现，我们就直接暴力去寻找，将找到的能合并的点对都合并，我们所得到的答案一定是最优的，我们的答案与我们合并的点的顺序无关，转化到图上很好理解。

然而在CF的讨论区中 $\color{orange}{humbertoyusta}$ 巨佬给出了一种 $O\left((n+m)\alpha(n)\right)$ 的做法，就加在这里吧。
我们可以先选定其中一个点，让它先与所有与它既不在同一行，又不在同一列的点合并。
之后我们剩下的点肯定不能与之前选择的点合并了，它们肯定有一个地方在同一个集合，但我们可以将在同一行的点与在同一列的点合并，这两者合并后就与之前选择的点位置相同了。
我们可以一直执行这一个操作直到只有一列或一行有点。
这样我们的时间复杂度就只剩下并查集的 $\left((n+m)\alpha(n)\right)$ 了。
~~虽然实际上亲测只是我们下面的方法速度的 $\frac{1}{4}$ 。~~

考虑怎么维护这个过程。
我们可以以 $x$ 坐标为下标建线段树，而树上的节点维护这个区间内的 $2$ 个(如果有两个的话) $y$ 坐标不同的点。
由于我们只需要找一个与它 $x, y$ 下标不同的点，所以我们只要在 $x$ 坐标不同的区域，看有没有一个 $y$ 坐标与它不同的点就行了，所以只需要维护 $2$ 个 $y$ 坐标不同的点。

而合并行与列的部分我们可以采用启发式合并。
我们用一个 $s e t$ 记录下来某一行与某一列有哪些点，将集合大小较小的行的所有点加到集合大小较大的行的集合中，列也同理。
每加一个点时就暴力将线段树上该点所在的 $x$ 坐标的状况更新一下。
交换行的时候其实是可以等加完这一行后在更改的，但交换列就得加一次更改一次了。~~或许只是因为我太菜了~~
由于是启发式合并，所以更改次数是 $n\log\,n$ 的，每修改一次还要 $O(\log\,n)$ 地在线段树上修改一次。

由于我们输出的答案还得知道我们每次连接了哪些点，这就意味着我们还得同时维护每个点对 $(x, y)$ 对应的点。
当然，由于点对 $(x, y)$ 相同的点是等价的，我们可以直接用 $m a p$ 维护该点对对应的其中一个点。
实际上用 $unordered_map$ 快不了多少，也优化不了复杂度。

时间复杂度 $O\left(n\log^2n\right)$ 。

源码

$O\left(n\log^2n\right)$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<unordered_map>
#include<set>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=1000000000000000000LL;
const int mo=1e9+7;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int lim=100000;
const int n1=520;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-7;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,m1,m2,fa[MAXN<<1],answer;
set<int>s[MAXN<<1];
unordered_map<int,int>mp[MAXN];
vector<pii>ans;
void makeSet(int x){for(int i=1;i<=x;i++)fa[i]=i;}
int findSet(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=findSet(fa[x]);}
void unionSet(int a,int b){int u=findSet(a),v=findSet(b);if(u!=v)fa[u]=v;}
struct point{
	int x,y,id;point(){x=y=id=0;}
	point(int X,int Y,int Id){x=X;y=Y;id=Id;}
};
struct ming{
	point a[2];
	ming friend operator + (const ming &x,const ming &y){
		ming res;if(!x.a[0].id)return y;if(!y.a[0].id)return x;
		if(x.a[0].id&&x.a[1].id){res.a[0]=x.a[0];res.a[1]=x.a[1];return res;}
		if(y.a[0].id&&y.a[1].id){res.a[0]=y.a[0];res.a[1]=y.a[1];return res;}
		res.a[0]=x.a[0];if(x.a[0].y!=y.a[0].y)res.a[1]=y.a[0];return res;
	}
};
class SegmentTree{
	private:
		ming tr[MAXN<<2];
	public:
		void modify(int rt,int l,int r,int ai){
			if(l>r||l>ai||r<ai)return ;int mid=l+r>>1;
			if(l==r){
				int cnt=0;tr[rt].a[0]=tr[rt].a[1]=point(0,0,0);
				for(auto x:s[l]){tr[rt].a[cnt++]=point(l,x,mp[l][x]);if(cnt==2)break;}return ;
			}
			if(ai<=mid)modify(rt<<1,l,mid,ai);
			if(ai>mid)modify(rt<<1|1,mid+1,r,ai);
			tr[rt]=tr[rt<<1]+tr[rt<<1|1];
		}
		ming query(int rt,int l,int r,int al,int ar){
			ming res;if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return res;
			if(al<=l&&r<=ar)return tr[rt];int mid=l+r>>1;
			if(al<=mid)res=res+query(rt<<1,l,mid,al,ar);
			if(ar>mid)res=res+query(rt<<1|1,mid+1,r,al,ar);
			return res;
		}
}T;
signed main(){
	read(n);read(m1);read(m2);makeSet(n+n);
	for(int i=1,u,v;i<=m1;i++)read(u),read(v),unionSet(u,v);
	for(int i=1,u,v;i<=m2;i++)read(u),read(v),unionSet(u+n,v+n);
	for(int i=1,x,y;i<=n;i++)x=findSet(i),y=findSet(i+n),s[x].insert(y),s[y].insert(x),mp[x][y]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(findSet(i)==i)T.modify(1,1,n,i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		while(1){
			ming tmp=T.query(1,1,n,1,findSet(i)-1)+T.query(1,1,n,findSet(i)+1,n);
			int k=findSet(i+n);if(!tmp.a[0].id||(tmp.a[0].y==k&&!tmp.a[1].id))break;
			if(tmp.a[0].y==k)swap(tmp.a[0],tmp.a[1]);answer++;ans.push_back(mkpr(i,tmp.a[0].id));
			k=findSet(i);int p=tmp.a[0].x,siz1=s[p].size(),siz2=s[k].size();
			if(siz1<siz2){
				for(auto x:s[p]){
					s[k].insert(x),s[x].erase(p),s[x].insert(k);
					if(!mp[k][x])mp[k][x]=mp[p][x];mp[p][x]=0;	
				}
				s[p].clear();T.modify(1,1,n,p);T.modify(1,1,n,k);fa[p]=k;
			}
			else{
				for(auto x:s[k]){
					s[p].insert(x),s[x].erase(k),s[x].insert(p);
					if(!mp[p][x])mp[p][x]=mp[k][x];mp[k][x]=0;
				}
				s[k].clear();T.modify(1,1,n,k);T.modify(1,1,n,p);fa[k]=p;
			}
			p=tmp.a[0].y;k=findSet(i+n);siz1=s[p].size();siz2=s[k].size();
			if(siz1<siz2){
				for(auto x:s[p]){
					s[k].insert(x),s[x].erase(p),s[x].insert(k);
					T.modify(1,1,n,x);if(!mp[x][k])mp[x][k]=mp[x][p];mp[x][p]=0;
				}
				s[p].clear();fa[p]=k;
			}
			else{
				for(auto x:s[k]){
					s[p].insert(x),s[x].erase(k),s[x].insert(p);
					T.modify(1,1,n,x);if(!mp[x][p])mp[x][p]=mp[x][k];mp[x][k]=0;
				}
				s[k].clear();fa[k]=p;
			}
		}
	printf("%d\n",answer);for(int i=0;i<answer;i++)printf("%d %d\n",ans[i].fir,ans[i].sec);
	return 0;
}

$O\left((n+m)\alpha(n)\right)$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<unordered_map>
#include<set>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=1000000000000000000LL;
const int mo=1e9+7;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int lim=100000;
const int n1=520;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-7;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,m1,m2,fa[MAXN<<1],answer;
vector<pii>ans;
queue<int>q1,q2;
void makeSet(int x){for(int i=1;i<=x;i++)fa[i]=i;}
int findSet(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=findSet(fa[x]);}
void unionSet(int a,int b){int u=findSet(a),v=findSet(b);if(u!=v)fa[u]=v;}
signed main(){
	read(n);read(m1);read(m2);makeSet(n+n);
	for(int i=1,u,v;i<=m1;i++)read(u),read(v),unionSet(u,v);
	for(int i=1,u,v;i<=m2;i++)read(u),read(v),unionSet(u+n,v+n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(findSet(i)!=findSet(1)&&findSet(i+n)!=findSet(1+n))
			unionSet(1,i),unionSet(1+n,i+n),answer++,ans.pb(mkpr(1,i));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(findSet(i)!=findSet(1))q1.push(i);
		if(findSet(i+n)!=findSet(1+n))q2.push(i);	
	}
	while(!q1.empty()&&!q2.empty()){
		answer++;ans.pb(mkpr(q1.front(),q2.front()));
		unionSet(q1.front(),q2.front());unionSet(q1.front()+n,q2.front()+n);
		while(!q1.empty()&&findSet(q1.front())==findSet(1))q1.pop();
		while(!q2.empty()&&findSet(q2.front()+n)==findSet(1+n))q2.pop();
	}
	printf("%d\n",answer);
	for(int i=0;i<answer;i++)printf("%d %d\n",ans[i].fir,ans[i].sec);
	return 0;
}

谢谢！！！

posted @ 2021-08-17 14:11 StaroForgin 阅读(8) 评论(0) 收藏举报来源

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