关于斐波那契数列和组合数求和的一个性质

性质

\[\begin{aligned} f(n) & =\sum_{i=0}^{n}\binom{n-i}{i} \\ & =\sum_{i=0}^{n}\binom{n-i-1}{i-1}+\sum_{i=0}^{n}\binom{n-i-1}{i} \\ & =\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-2-i}{i}+f(n-1) \\ & =f(n-2)+f(n-1) \end{aligned} \]

显然有 \(f(0)=f(1)=1\)，故原式得证。

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具体证明

推导过程分析

给定函数定义：

\[f(n) = \sum_{i=0}^n \binom{n-i}{i} \]

步骤 1：应用帕斯卡恒等式
利用二项式系数的性质：

\[\binom{n-i}{i} = \binom{n-i-1}{i-1} + \binom{n-i-1}{i} \]

因此：

\[f(n) = \sum_{i=0}^n \binom{n-i}{i} = \sum_{i=0}^n \left( \binom{n-i-1}{i-1} + \binom{n-i-1}{i} \right) = \sum_{i=0}^n \binom{n-i-1}{i-1} + \sum_{i=0}^n \binom{n-i-1}{i} \]

注：当 \(i=0\) 时，\(\binom{n-1}{-1} = 0\)；当 \(i=n\) 时，\(\binom{-1}{n} = 0\)（无效组合数视为 0）。

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步骤 2：重索引求和

• 第一个求和（令 \(j = i-1\)）：

  \[\sum_{i=0}^n \binom{n-i-1}{i-1} = \sum_{j=-1}^{n-1} \binom{n-2-j}{j} = \sum_{j=0}^{n-2} \binom{n-2-j}{j} = f(n-2) \]

  （因为 \(j=-1\) 和 \(j=n-1\) 时组合数为 0，可忽略。）

• 第二个求和：

  \[\sum_{i=0}^n \binom{n-i-1}{i} = \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1-i}{i} = f(n-1) \]

  （当 \(i=n\) 时，\(\binom{-1}{n} = 0\)，因此上限可改为 \(n-1\)。）

综上：

\[f(n) = f(n-2) + f(n-1) \]

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验证初始条件

计算前几项以验证递推关系：

\[\begin{align*} f(0) &= \sum_{i=0}^0 \binom{0}{0} = 1, \\ f(1) &= \sum_{i=0}^1 \binom{1-i}{i} = \binom{1}{0} + \binom{0}{1} = 1 + 0 = 1, \\ f(2) &= \binom{2}{0} + \binom{1}{1} + \binom{0}{2} = 1 + 1 + 0 = 2, \\ f(3) &= 1 + 2 + 0 + 0 = 3, \\ f(4) &= 1 + 3 + 1 + 0 + 0 = 5. \end{align*} \]

递推关系成立：

\[f(2) = f(1) + f(0) = 1 + 1 = 2, \quad f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3, \quad \text{依此类推。} \]

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结论

递推关系：

\[f(n) = f(n-1) + f(n-2) \quad \text{（对 } n \geq 2 \text{）} \]

初始条件：

\[f(0) = 1, \quad f(1) = 1. \]

此序列为斐波那契数列的移位（\(f(n) = F_{n+1}\)）。因此，原推导正确。