【A】Sakura Tears

CF677E Vanya and Balloons

记录 \(2^a3^b\)，比较用 \(\log_2\) 比较即可，注意记录 0 的数量。

P11653 [COCI 2024/2025 #4] 猫 / Tura Mačkica

考虑树的情况。显然一个回路是合法的必要条件是 \(\deg^{in}_u=\deg^{out}_u\)。
我们从深的节点往上依次确定每个点的度数，由于子树我们已经固定了，则我们只有父边是可以修改的。那么整个树的 \(\deg\) 都是确定的，我们用并查集判断连通性即可。
回到基环树，容易发现我们可以钦定一条边的方向（或者不走），然后相当于删除了这条边，跑树的 case 即可。

AT_arc189_d [ARC189D] Takahashi is Slime

如果我们一直拓展某个方向，容易发现我们会在 \(a_x\ge sum\) 的位置停下来。那么以后如果能吞掉他就会导致 \(sum\) 翻倍，故至多存在 \(\log V\) 次这样的更换方向。
二分+st 表即可做到 \(O(n\log n\log V)\)。

类似的题：CF1990F Polygonal Segments，P9530 [JOIST 2022] 鱼 2 / Fish 2

CF1175E Minimal Segment Cover

容易发现被包含的区间一定不优，那么我们删除这样的区间后区间左右端点都是单调递增的。直接倍增就好啦。

P6072 『MdOI R1』Path

我们发现，一定可以将两条路径分别划分在某个点的子树内和子树外。那么我们转化为有 \(n\) 个询问，每个询问形如：查询 \([l,r]\) 的最大异或和&查询 \([1,l-1]\cup[r+1,n]\) 的最大异或和。
我们容易使用线段树分治一类的东西在 \(O(n\log n\log V)\) 的时间复杂度内完成这个东西，但是貌似可以做到 \(O(n\log V)\)？不太会。

P6772 [NOI2020] 美食家

观察到 \(n,w\) 很小，我们用矩阵记录 \(w\) 步以内的最长路即可。对于美食节我们就是做到那个时刻，给对应的位置加上愉悦值即可。需要预处理矩阵的幂。

P13536 [IOI 2025] 神话三峰（triples）（Part 1）

不妨枚举 \(h_i,h_k\)，两个数匹配写作 \((A,B)\)。我们讨论：

• \((h_i,k-i)\)：要求 \((h_j,k-i-h_k)\)。
• \((h_k,k-i)\)：要求 \((h_j,k-i-h_i)\)。

上面两个 case 枚举 \(i/k\) 即可计算，两个条件显然不会同时满足。

• \((h_j,k-i)\)：

  • \((h_i,j-i),(h_k,k-j)\)：这个 case 是容易做的，贡献比较独立。需要去掉 \(h_i=h_k\) 的情况，他会在下面统计到。
  • \((h_i,k-j),(h_k,j-i)\)：得到三个等式，两两相加/减即可得到：
    • \(j-h_j=i-h_i\)。
    • \(k+h_k=j+h_j\)。
    • \(k-h_k=h_i+i\)。

  观察对称性，我们可以连边：\((i-h_i,i+h_i)\)，那么我们统计三元环个数即可。

Part 2：这个三元环个数实际启发我们构造的时候最大化三元环数量。那么我们构造 \(n=\sqrt m\) 的完全图，然后随机对于编号构造即可。刘恒熙用这个方法在考场通过了这个题。

P8916 [DMOI-R2] 暗号

称两个端点都是黑点的边为黑边，白边同理。那么一个点的贡献就是祖先上和他同色边的条数加一乘上他自己的战力值。那么我们分别记录这两种边的数量即可 \(O(1)\) 转移。
复杂度 \(O(n^3)\)。

AT_arc208_d [ARC208D] Symmetric Matrix

P9675 [ICPC 2022 Jinan R] Shortest Path

对于 \(x\) 较小的显然我们可以 dag dp 一类的东西直接求。
考虑较大的情况？这个东西其实类似于最小比例环。我们可以证明，对于 \(x>4n\) 的情况，一定是走到某个边 \(w\)，然后一直走他，最后走到 \(n\)。那么我们可以得到 \(O(m)\) 条直线，建出凸包/李超求最小值的和即可。注意奇偶长度的最短路需要区分。
证明：我们一定能找到两个环，若其中存在偶环，我们直接用 \(w\) 替换。否则，我们将两个环都丢掉用 \(w\) 代替。
实际上实现使用 \(x>2n\) 这个界同样通过了，不知道能否证明正确性？

P7739 [NOI2021] 密码箱

这个题可能唯一的启发就是构造出来的矩阵很奇怪的时候，可能是出题人特殊构造的。
例如这题里操作 2 存在 if 语句，实际上两种 case 乘上的矩阵是相同的。
就不写 solution 了，去看 tj 吧。