概率型生成函数?

简单的问题

已知两个随机变量 \(X,Y\) 分别独立的等概率均匀出现在 \([0,1]\) 中。
问：\(X+Y\le 1\) 的概率是？

这是一个显然的问题，小学生都会口算，但是我们姑且认为我们不知道答案。

有一种好东西叫做概率型生成函数，这里给出它的基本形式

\[f(x)=\sum_{i=0}P(X=i)x^i \]

我们非常想依靠概率型生成函数来计算我们的概率问题。

很可惜，上面的式子所表示的变量是离散的，而我们的变量却是连续的。

推广！如果它不是连续的，我们就尝试着让它趋于连续。我们考虑项不是整数的情况：

\[F(x)=\sum_{i=0}^nP\left(X\in \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\right)x^{\frac{i}{n}} \]

设我们把区间分成长度相等的 \(n\) 段，当 \(n\) 趋于正无穷时，整个区间被完全细分，每一项的意义都为区间中的一个值。显然的每一段的概率 \(P\left(X\in \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\right)\) 都等于 \(\frac{1}{n}\)，我们将此式化简:

\[F(x)=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n\frac{1}{n}x^{\frac{i}{n}} \]

由于我还没有找到此式封闭形式，姑且使用暴力求和。

此时我们就写出了 \(X\) 的概率型生成函数，\(Y\) 同理。

于是取 \(X,Y\) 的操作的生成函数即为:

\[\begin{align} G(x)&=&F(x)*F(x)\\ \end{align} \]

我们做简单化简

\[\begin{align} &=\sum_{i=0}^n\frac{1}{n}x^{\frac{i}{n}}\sum_{j=0}^n\frac{1}{n}x^{\frac{j}{n}}\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\frac{1}{n}x^{\frac{i}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{j}{n}}\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\frac{1}{n^2}x^{\frac{i+j}{n}}\\ &=\sum_{i=0}^{2n}\sum_{j=0}^{\min(i,n)}\frac{1}{n^2}x^{\frac{i}{n}}\\ \end{align} \]

最后我们裂项化简

\[\begin{align} &=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{\min(i,n)}\frac{1}{n^2}x^{\frac{i}{n}}+\sum_{i=n+1}^{2n}\sum_{j=0}^{n}\frac{1}{n^2}x^{\frac{i}{n}}\\ &=\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n^2}x^{\frac{i}{n}}+\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{n}x^{\frac{i}{n}}\\ \end{align} \]

非常好，目前的被项已经完全化简。
由于 \(X+Y\le1\) 我们取指数 \(i\in[0,1]\) 的项：

\[G(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n^2}x^{\frac{i}{n}} \]

现在我们离答案只剩下最后一步，对系数求和。

\[\begin{align} ans&=\sum_{i=0}^{n}\frac{i}{n^2}\\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i=0}^{n}i\\ &=\frac{1}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{n^2+n}{2n^2}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\\ \end{align}\]

根据我们前面的定义，\(n\) 需要趋于正无穷，即答案为 \(\frac{1}{2}\)，结果显然正确。

后记：我们在这里使用了巨大的篇幅才解决了一道如此简单的题，但以上的求解过程具有一定的启发意义。倘若我们能够找到 \(F(x)\) 的封闭形式，就能够进行更加复杂而庞大的计算，并与传统的生成函数构建起桥梁。

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\(\texttt{by TZYLT 2024.07.27}\)