题解：[NOIP 2016 提高组] 换教室

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DP

\(n,m\leq2000\)，可以考虑 DP。

状态设计

DP 需要满足最优子结构与无后效性原则，因此 DP 方程里的参数需要能够转移。

设 \(dp_{i,j,k\in\lbrace0,1\rbrace }\) 表示处理到第 \(i\) 个时间段，申请换了（不是实际换了几个） \(j\) 个教室，第 \(i\) 个教室是否更换的答案。

状态转移

期望，即每种情况的贡献与其出现概率的乘积之和。

令 \(a_{x,y}\) 表示教室 \(x\) 到教室 \(y\) 的最短路长度，因为节点数 \(v\leq300\)，可以 Floyed \(\mathcal O\left(v^3\right)\) 求出。

对于 \(dp_{i,0,0}\)，显然有：

\[dp_{i,0,0}=dp_{i-1,0,0}+a_{c_{i-1},c_i} \]

因为只有这一种情况，无需乘概率。

对于 \(dp_{i,j,0}\)，有：

\[\begin{aligned} dp_{i,j,0}&=\min \begin{cases} dp_{i-1,j,0}+a_{c_{i-1},c_i}\\ k_{i-1}(dp_{i-1,j,1}+a_{d_{i-1},c_i})+(1-k_{i-1})(dp_{i-1,j,1}+a_{c_{i-1},c_i}) \end{cases}\\ &=\min \begin{cases} dp_{i-1,j,0}+a_{c_{i-1},c_i}\\ dp_{i-1,j,1}+a_{d_{i-1},c_i}\cdot k_{i-1}+a_{c_{i-1},c_i}(1-k_{i-1}) \end{cases} \end{aligned} \]

第一行很好理解，即 \(i-1\) 不换，直接转移。

第二行讨论的即 \(i-1\) 换没换成功，概率分别为 \(k_{i-1},1-k_{i-1}\)。

同理，可以得到更加复杂的 \(dp_{i,j,1}\)：

\[dp_{i,j,1}=\min \begin{cases} dp_{i-1,j-1,0}+a_{c_{i-1},d_i}\cdot k_i+a_{c_{i-1},c_i}(1-k_i)\\ dp_{i-1,j-1,1}+a_{d_{i-1},d_i}\cdot k_{i-1}\cdot k_i+a_{d_{i-1},c_i}\cdot k_{i-1}(1-k_i)+a_{c_{i-1},d_i}(1-k_{i-1})k_i+a_{d_{i-1},d_i}(1-k_{i-1})(1-k_i) \end{cases} \]

边界条件

\[dp_{1,0,0}=dp_{1,1,1}=0 \]

显然。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=2000,M=2000,V=300;
constexpr const double Max=1e18;
int n,m,v,e,c[N+1],d[N+1],a[V+1][V+1];
double k[N+1],dp[N+1][M+1][2];
template<typename T>
T min(T a,T b,T c){
	return (a<b?(a<c?a:c):(b<c?b:c));
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n>>m>>v>>e;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>c[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>d[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>k[i];
	}
	memset(a,0x3f,sizeof(a));
	for(int i=1;i<=e;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		a[u][v]=a[v][u]=min(a[u][v],w);
	}
	for(int k=1;k<=v;k++){
		for(int i=1;i<=v;i++){
			for(int j=1;j<=v;j++){
				a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=v;i++){
		a[i][i]=0;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=Max;
		}
	}
	dp[1][0][0]=dp[1][1][1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		dp[i][0][0]=dp[i-1][0][0]+a[c[i-1]][c[i]];
		for(int j=1;j<=i&&j<=m;j++){ 
			dp[i][j][0]=min(
				dp[i-1][j][0]+a[c[i-1]][c[i]],
				dp[i-1][j][1]+a[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+a[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])
			); 
			dp[i][j][1]=min(
				dp[i-1][j-1][0]+a[c[i-1]][d[i]]*k[i]+a[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]),
				dp[i-1][j-1][1]+a[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]+a[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+a[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+a[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i]) 
			);
		}
	}
	double ans=Max;
	for(int i=0;i<=m;i++){
		ans=min(ans,dp[n][i][0],dp[n][i][1]);
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans<<'\n';
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}