题解：XOR Pairs

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题意分析

我们先思考：什么样的两个 \(x,y\)，会满足 \(x \oplus y>\max(x,y)\)。

为了便于表述，令 \(x>y\)。

举个例子：

数值	\(x\) 的最高位			\(y\) 的最高位
\(x\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	...
\(y\)				\(1\)	...
\(x\oplus y\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(\color{red}1\)	...

见表格中红色的 \(\color{red}1\)，\(x\oplus y\) 中，\(y\) 的最高位为 \(1\)，而在 \(x\) 上对应的位置为 \(0\)，而 \(0\oplus 1=1\)。

于是，\(x\oplus y>\max(x,y)\)。

如果 \(y\) 的最高位（显然，最高位为 \(1\)）在 \(x\) 上的值为 \(1\) 呢？

那么这一位在 \(x\oplus y\) 上便为 \(0\)，则显然小于 \(x\)。

总结：当 \(x,y\) 其中一个数的最高位在另一个数的对应位置上为 \(0\) 的时候，\(x \oplus y>\max(x,y)\)。

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定义 \(t[i][x]\)，\(i\in[1,n],x\in\{1,2\}\)。

\(t[i][0]\) 表示所有 \(a[j]\) 在二进制下第 \(i\) 位为 \(0\) 的数的个数。

\(t[i][1]\) 表示所有 \(a[j]\) 在二进制下最高位为第 \(i\) 位的数的个数。

最终答案即 \(\large \sum\limits_{i=1}^{\lfloor\log_2V\rfloor}t[i][0]\times t[i][1]\)，其中 \(V\) 为值域。

注意开 long long。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6;
int n,q,a[N+1],t[30][2];
void count(int x,int k){//k=-1清除标记
	int i=0;
	while(x>0){
		if(~x&1)t[i][0]+=k;
		i++;x>>=1;
	}t[i-1][1]+=k;//最高位
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scanf("%d %d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",a+i);
		count(a[i],1);
	}
	while(q--){
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		count(a[x],-1);
		a[x]=y;
		count(a[x],1);
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<30;i++){
			ans+=1ll*t[i][0]*t[i][1];
		}printf("%lld\n",ans);
	}
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}