KMP 算法详解
什么是 KMP 算法
命名
首先，你要了解“KMP”的命名由来。
其实这仅仅是因为 KMP 算法由三个叫 Donald E. Knuth、James H. Morris, Jr. 和 Vaughan R. Pratt 的人共同提出而已。
作用
参考例题（洛谷P3375）。
在一个字符串 \(s1\)（通常称之为“文本串”）中查找另一个字符串 \(s2\)（通常称之为“模式串”）的出现次数和出现位置。
（以下 \(n,m\) 分别为 \(s1,s2\) 的长度）
朴素算法
最优时间复杂度：\(\mathcal O\left(n+m\right)\)。
最坏时间复杂度：\(\mathcal O(nm)\)。
遍历 \(s\)，然后同时如果 \(s_1[i]=s_2[i]\) 就继续判断 \(s_1[i+1]=s_2[i+1],s_1[i+2]=s_2[i+2],\cdots,s_1[i+m-1]=s_2[m]\)。在中途如果判断出 \(s_1[j]\ne s_2[j]\)，就跳出循环 \(i\) 继续遍历。
朴素代码代码如下：
//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e6;
char s1[N+1],s2[N+1];
int n,m;
int main(){
/*freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);*/
scanf("%s%s",s1,s2);
n=strlen(s1),m=strlen(s2);
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<m;j++){
if(s1[i+j]!=s2[j])break;
if(j==m-1){
//匹配到了
}
}
}printf("%d\n",ans);
/*fclose(stdin);
fclose(stdout);*/
return 0;
}
KMP 算法
策略
先看看朴素算法的匹配策略：
再看看 KMP 算法的匹配策略：
图片来源：见参考链接
可以发现，KMP 算法在失配时”将模式串移到了适配位置的后方“。
显然，我们不可能真的去这么做，因为太费时了。
因此我们考虑使用两个指针 \(i,j\)，分别指向文本串 \(s_1\) 和模式串 \(s_2\)。
求出 \(pre\) 后匹配
使 \(i\) 遍历 \([1,n]\)，\(j\) 如果能够匹配就增加，否则就挪到另一个位置 \(pre_j\)。
假设我们已经求出了 \(pre_j\)，那么 KMP 算法将会变得无比简单。
先上代码：
pre[0]=-1;
for(int i=0,j=0;i<n;){
if(j==-1||s1[i]==s2[j])i++,j++;
else j=pre[j];
if(j==m){
//匹配到了
}
}
其中，\(pre_0=-1\) 仅仅是一个特殊值（详见下文）。
现在我们考虑如何求出 \(pre_j\)，以及怎样的 \(pre_j\) 能最大程度上减少重复运算、提高效率。
\(pre\) 数组是什么
引入一个概念：border。
定义一个字符串 \(s\) 的 border 为 \(s\) 的一个非 \(s\) 本身的子串 \(t\)，满足 \(t\) 既是 \(s\) 的前缀，又是 \(s\) 的后缀。（border 可以为空串）
那么 \(pre_i\) 便是 \(s_2[1,i]\) 的最长 border 的长度。
为什么？
看个例子：在 \(\texttt{CDACDBCD}\) 中匹配 \(\texttt{CDBCD}\)。
最开始长这样：\(\begin{aligned}&\texttt{CDA}\color{red}\texttt{CD}\color{black}\texttt{BCD}\\ &\texttt{CDB}\color{red}\texttt{CD}\end{aligned}\)。
就会把模式串位移成：\(\begin{aligned}\texttt{CDA}&\color{red}\texttt{CD}\color{black}\texttt{BCD}\\ &\color{red}\texttt{CD}\color{black}\texttt{BCD}\end{aligned}\)。
可以发现：此时会存在公共部分（\(\color{red}\texttt{CD}\)）。
那么我们不难发现，这个公共部分必然是 \(s_2[1,i]\) 的一个 border（可以为空串！！）。
那么，为什么要使 border 最长呢？
其实也很简单，就是让公共部分最长（向前跳的尽量少），因为这样能够防止漏掉漏掉可能的匹配。
求解 \(pre\) 数组
知道了这些，现在开始考虑求出 \(pre_i\)。
我们直接让 \(s_2\) 匹配自己即可。
先放代码：
for(int i=0,j=-1;i<m;){
if(j==-1||s2[i]==s2[j])pre[++i]=++j;
else j=pre[j];
}
一个明显的事实：\(i\geq j\) 恒成立。
由 \(pre_j\) 的定义可得，\(pre_j\leq j\) 恒成立。
则每次循环中，要么 \(i,j\) 同时自增，差值不变，要么 \(j\) 减少；因此，\(i\geq j\) 恒成立。
因此无需担心不能够进行“自己匹配自己”。
实在不能理解可以手推，毕竟我推了六张草稿纸，大部分都是画例子。。。。。。
然后其实就是一个 \(i\) 指针在右边，\(j\) 指针在左边，如果 \(s_2[i]=s_2[j]\)，那么 border 的长度自然增加，否则就是“失配”。
“失配”了，自然就有 \(j\leftarrow pre_j\)。
最长 border 为空
特殊值 \(-1\) 的用途，这种情况 \(pre\) 指向第一个字符 \(s_2[0]\) 即可。
注意：如果你的字符串下标从 \(1\) 开始，特殊值请设置为 \(0\)。
因为在 pre[++i]=++j 中，若是 \(j=-1\)，则 \(pre_{i+1}=0\)，但是 \(0\) 是一个空值。
例题 AC 代码
//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=1e6;
char s1[N+1],s2[N+1];
int n,m,pre[N+1]={-1};
int main(){
/*freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);*/
scanf("%s%s",s1,s2);
n=strlen(s1),m=strlen(s2);
for(int i=0,j=-1;i<m;){
if(j==-1||s2[i]==s2[j])pre[++i]=++j;
else j=pre[j];
}
for(int i=0,j=0;i<n;){
if(j==-1||s1[i]==s2[j])i++,j++;
else j=pre[j];
if(j==m)printf("%d\n",i-m+1);
}
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",pre[i]);
putchar(10);
/*fclose(stdin);
fclose(stdout);*/
return 0;
}
参考链接
https://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559（图片来源）
浙公网安备 33010602011771号