题解：Perishable Roads

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题意分析

考虑最终的生成树，一定包含了权值最小边。设该边为 \((u,v)\)，若生成树中不包含 \(u,v\)，则一定有两条边分别到达 \(u,v\)。显然这两条边有一条换为 \((u,v)\) 更优。

那么生成树一定形如从 \(t\) 到达最小边，之后便是从最小边出来的一些子树（实际上也可以是链，都是等价的）。

为了到达最小边，成为一条链是最优的，否则会有不必要的花费。

确定最小边的一个端点 \(x\)，求出 \(x\sim t\) 的最小权值和最小的链的权值和 \(\textit{sum}\) 和链长 \(k\) 即可。答案即 \(\textit{sum}+(n-k-1)w\)。\(w\) 为最小边权。

注意到 \(x\sim t\) 链上边权除开最后一条边，是单调不降的，否则可以将其放到 \(x\) 之后的树上更优。

因此链上每一条边的贡献都是自己的 \(1\) 倍，跑最短路即可。

考虑链上两点 \(i,s\)，若以 \(j\) 为中转站更优，其答案为 \(2w_{i,j}\)。

将所有边权均减去 \(w\)，在新图上跑 \(x\sim t\) 的最短路，答案加上 \((n-1)w\) 即可得到。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=2000,W=1e9;
constexpr const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,w[N+1][N+1];
ll dis[N+1];
void Dijkstra(int s){
	static bool vis[N+1];
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	vis[s]=true;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dis[i]=w[s][i];
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j){
				continue;
			}
			dis[i]=min(dis[i],2ll*w[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		ll Min=inf;
		int x=-1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(vis[j]){
				continue;
			}
			if(dis[j]<Min){
				Min=dis[j];
				x=j;
			}
		}
		vis[x]=true;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(vis[j]){
				continue;
			}
			dis[j]=min(dis[j],dis[x]+w[x][j]);
		}
	}
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=1;j<=n-i;j++){
			cin>>w[i][i+j];
			w[i+j][i]=w[i][i+j];
		}
	}
	ll Min=inf,s=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(w[i][j]<Min){
				Min=w[i][j];
				s=i;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j){
				continue;
			}
			w[i][j]-=Min;
		}
	}
	Dijkstra(s);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<dis[i]+(n-1ll)*Min<<'\n';
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}