【算法•日更•第五十三期】知识扫盲：什么是积性函数？

▎唯一分解定理

　　你可能会问，学积性函数，为什么提到唯一分解定理呢？有神马关系？对后文有用，请耐心看下去。

　　唯一分解定理主要就是说一个数x可以一定可以分成质数的乘积（1，0什么的除外），换成式子就是这样：

　　n=a₁^p1·a₂^p2·a₃^p3·a₄^p4·a₅^p5·……

　　这其实很简单，这也是分解质因数的原理。

▎数论函数

　　没有什么价值，直接抛定义，其实平时根本用起来就像八年级的函数一样，只不过不用表格、图像表示而已。

　　在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。

　　最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。（copy自百度百科）

▎积性函数

　　对于一个函数f而言，如果它满足f(ab)=f(a)(b)的话，我们称之为积性函数。

　　这时唯一分解定理就派上用场了：

　　若n=a₁^p1·a₂^p2·a₃^p3·a₄^p4·a₅^p5·……

　　那么则有f(n)=f(a₁^p1)·f(a₂^p2)·f(a₃^p3)·f(a₄^p4)·f(a₅^p5)·……

　　这样求一个函数的值就有另一种方式了。