【半导体物理 | 笔记】 第三章 半导体中的载流子分布

一、状态密度

状态密度\(g(E)=\frac{\mathrm d Z}{\mathrm d E}\),即晶体的能带中能量\(E\)附近每单位能量间隔内的量子态数

\(\boldsymbol k\)空间中量子态的分布

晶体线度限制:

\[k_x=\frac{2\pi n_x}{L}(n_x=0,\pm 1,\pm 2,\dots)\\ \]

\[k_y=\frac{2\pi n_y}{L}(n_x=0,\pm 1,\pm 2,\dots)\\ \]

\[k_x=\frac{2\pi n_z}{L}(n_x=0,\pm 1,\pm 2,\dots) \]

允许量子态密度

\[\frac{2V}{8\pi^3} \]

状态密度

• 导带底附近状态密度

\[g_\mathrm c(E)= \frac{V}{2\pi^2}\frac{(2m^*_\mathrm n)^{3/2}}{\hbar^3}(E-E_\mathrm c)^{1/2} \qquad\text{(1-a)} \]

\[g_\mathrm v(E)= \frac{V}{2\pi^2}\frac{(2m^*_\mathrm p)^{3/2}}{\hbar^3}(E_\mathrm v-E)^{1/2} \qquad\text{(1-b)} \]

• 状态密度有效质量

\(m^*_\mathrm{dn}=s^{2/3}(m_\mathrm l m_\mathrm t)^{1/3}\)

\(s\)为导带底状态数(等能面椭球个数)\\(s_\text{硅}=6,s_\text{锗}=8\times(1/2)=4\)

\(m^*_\mathrm{dp}=\left[(m_\mathrm p)_\mathrm l^{3/2}+(m_\mathrm p)_\mathrm h^{3/2}\right]^{2/3}\)

轻空穴 \((m_\mathrm p)_\mathrm l\),重空穴 \((m_\mathrm p)_\mathrm h\)

二、费米能级和载流子的统计分布

费米能级 \(E_\mathrm F\) 标志了电子填充能级的水平

与温度、半导体导电类型(n\p)、杂质含量、能量零点选取有关

\[\sum_i{f(E_i)}=N \]

电子的费米分布函数（简并）

\[f(E)=\frac{1}{1+\mathrm{exp}\left(\dfrac{E-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)} \qquad\text{(2)} \]

其中 $$f(E_\mathrm F)=\frac{1}{2}$$

玻尔兹曼分布函数（非简并）

• \(E-E_\mathrm F\gg k_0 T\) ：

\[f_\mathrm B(E)=\mathrm{exp}\left(-\frac{E-E_\mathrm F}{k_0 T}\right) \qquad\text{(3-a)} \]

• \(E_\mathrm F-E\gg k_0 T\) ：

\[1-f_\mathrm B(E)=\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm F-E}{k_0 T}\right) \qquad\text{(3-b)} \]

导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度

只要确定 \(E_\mathrm F\),就可以计算一定温度下 \(N_\mathrm c\) 和 \(N_\mathrm v\)

\[\begin{align} n_0&=\int_{E_\mathrm c}^{E'_\mathrm c}\frac{f_\mathrm B(E)g_\mathrm c(E)}{V}\mathrm d E\\ &=2\left(\frac{m^*_\mathrm n k_0 T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm c-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)\\ &=N_\mathrm c \mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm c-E_\mathrm F}{k_0 T}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(4-a)}} \end{align} \]

导带有效状态密度

\[N_\mathrm c=2\left(\frac{m^*_\mathrm n k_0 T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} \qquad \text{(5-a)} \]

可知\(N_\mathrm c\propto T^{3/2}\)

\[p_0=N_\mathrm v\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm F-E_\mathrm v}{k_0 T}\right) \qquad \textcolor{red}{\text{(4-b)}} \]

价带有效状态密度

\[N_\mathrm v=2\left(\frac{m^*_\mathrm p k_0 T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} \qquad \text{(5-b)}\]

可知\(N_\mathrm v\propto T^{3/2}\)

$\text{(4-a)}\times\text{(4-b)}\Rightarrow $

\[n_0 p_0=N_\mathrm c N_\mathrm v\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm g}{k_0 T}\right) \qquad \text{(6)} \]

热平衡，非简并，与杂质无关

可知 \(n_0 p_0 \propto T^3\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm g}{k_0 T}\right)\)

三、本征半导体的载流子浓度

本征激发情况下电中性条件 $n_0=p_0 \quad\textcolor{red}{\text{(EN-1)}} $

本征半导体费米能级 \(E_\mathrm i\)

(4-a)(4-b)代入(EN-1) $ \Rightarrow $

\[\begin{align} E_\mathrm i=E_\mathrm F&=\frac{E_\mathrm c+E_\mathrm v}{2}+\frac{k_0 T}{2}\ln \frac{N_\mathrm v}{N_\mathrm c}\\ \quad &=\frac{E_\mathrm c+E_\mathrm v}{2}+\frac{3k_0 T}{4}\ln\frac{m^*_\mathrm p}{m^*_\mathrm n} \qquad\textcolor{red}{\text{(F-1)}} \end{align} \]

本征载流子浓度

(F-1)代入(4-a)(4-b) $ \Rightarrow $

\[n_\mathrm i=n_0=p_0=\sqrt{N_\mathrm c N_\mathrm v}\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm g}{2k_0 T}\right) \qquad\text{(7)} \]

\(\ln n_\mathrm i\) - \(1/T\) 基本上是一直线

(6)(7) $ \Rightarrow $

\[n_0 p_0=n^2_\mathrm i \qquad\qquad\text{(8)} \]

1/10原则

保持载流子主要来源于杂质电离时，要求本征载流子浓度至少比杂质低一个数量级（温度过高本征激发占优，器件失效）

四、杂质半导体的载流子浓度

施主能级上的电子和空穴

施主浓度 \(N_\mathrm D\)
对锗、硅、砷化镓等材料,施主能级基态简并度\(g_\mathrm D=2\)

• 施主能级上电子浓度

\[n_\mathrm D=\frac{N_\mathrm D}{1+\dfrac{1}{g_\mathrm D}\mathrm{exp}\left(\dfrac{E_\mathrm D-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)} \qquad{\text{(9-a)}} \]

• 电离施主浓度

\[n^+_\mathrm D=N_\mathrm D-n_\mathrm D=N_\mathrm D[1-f_\mathrm D(E)] \\=\frac{N_\mathrm D}{1+g_\mathrm D\mathrm{exp}\left(-\dfrac{E_\mathrm D-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)} \qquad\textcolor{red}{\text{(10-a)}} \]

受主能级上的电子和空穴

受主浓度\(N_\mathrm A\)
对锗、硅、砷化镓等材料,受主能级基态简并度\(g_\mathrm A=4\)

• 受主能级上空穴浓度

\[p_\mathrm A=\frac{N_\mathrm A}{1+\dfrac{1}{g_\mathrm A}\mathrm{exp}\left(\dfrac{E_\mathrm F-E_\mathrm A}{k_0 T}\right)} \qquad{\text{(9-b)}} \]

• 电离受主浓度

\[p^-_\mathrm A=\frac{N_\mathrm A}{1+g_\mathrm A\mathrm{exp}\left(-\dfrac{E_\mathrm F-E_\mathrm A}{k_0 T}\right)} \qquad\textcolor{red}{\text{(10-b)}} \]

n型半导体的载流子浓度

电中性条件 $n_0=n^+_\mathrm D+p_0 \quad\textcolor{red}{\text{(EN-2)}} $

\(\text{(4-a)(4-b)(10-a)(EN-2)}\Rightarrow\)

\[N_\mathrm c\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm c-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)=\\ N_\mathrm v\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm F-E_\mathrm v}{k_0 T}\right)+ \frac{N_\mathrm D}{1+2\mathrm{exp}\left(-\dfrac{E_\mathrm D-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)} \\ \]

a. 杂质电离温度范围

温度范围为 \(0\mathrm K\) 到杂质全部电离，认为本征激发可忽略
电中性条件 $p_0=0,n_0=n^+_\mathrm D \qquad\textcolor{red}{\text{(EN-3)}} $

\(\text{(4-a)(10-a)(EN-3)}\Rightarrow\)

\[N_\mathrm c\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm c-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)=\\ \frac{N_\mathrm D}{1+2\mathrm{exp}\left(-\dfrac{E_\mathrm D-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)} \textcolor{red}{\text{(EN-3)}'} \]

\[E_\mathrm F=E_\mathrm D+k_0 T\ln\frac{\sqrt{1+\dfrac{8N_\mathrm D}{N_\mathrm c}\mathrm {exp}\left(\dfrac{\Delta E_\mathrm D}{k_0 T}\right)-1}}{4} \textcolor{red}{\text{(F-2)}} \]

\[n_0=\frac{2N_\mathrm D}{1+\sqrt{1+\dfrac{8N_\mathrm D}{N_\mathrm c}\mathrm{exp}\left(\dfrac{\Delta E_\mathrm D}{k_0 T}\right)}} \textcolor{red}{\text{(12-a)}} \]

1. 低温弱电离区

很少量施主杂质发生电离，本征激发可忽略不记

(F-2)近似 \(\Rightarrow\)

\[E_\mathrm F=\frac{E_\mathrm c+E_\mathrm v}{2}+\frac{k_0 T}{2}\ln\left(\frac{N_\mathrm D}{2N_\mathrm c}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(F-3)}} \]

\[\lim_{T\to 0\mathrm K}E_\mathrm F=\frac{E_\mathrm c+E_\mathrm D}{2} \qquad\text{(F-3-a)} \]

\(N_\mathrm c(T)=0.11N_\mathrm D\) 时,\(E_\mathrm F\) 达到极大值

(F-2)代入(4-a) \(\Rightarrow\)

\[n_0=\sqrt{\frac{N_\mathrm D N_\mathrm c}{2}}\mathrm{exp}\left(-\frac{\Delta E_\mathrm D}{2k_0 T}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(13-a)}} \]

\(\ln n_0 T^{-3/4}\) - \(1/T\) 图中为一直线,斜率\(\Delta E_\mathrm D/(2k_0)\)

可实验测定 \(n_0\) - \(T\) 关系,求出杂质能级

2. 中间电离区，\(E_\mathrm F\)下降

3. 强电离区(饱和电离区)，温度升高至大部分杂质都电离，

\[n_0=N_\mathrm D\qquad\textcolor{red}{\text{(14-a)}} \]

(F-2)近似\(\Rightarrow\)

\[E_\mathrm F=E_\mathrm c+k_0 T\ln\left(\frac{N_\mathrm D}{N_\mathrm c}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(F-4)}} \]

一般掺杂下\(N_\mathrm c\gt N_\mathrm D\)，\(E_\mathrm F\) 在 \(E_\mathrm i\) 与 \(E_\mathrm c\) 之间

全部电离，载流子浓度与温度无关，这一温度范围称为饱和区

杂质浓度越高，达到全部电离的温度越高

b. 本征激发起作用的温度范围

认为杂质完全电离
过渡区电中性条件 $n_0=N_\mathrm D+p_0 \qquad\textcolor{red}{\text{(EN-4)}} $
解联立方程

\[\left\{\begin{matrix} p_0=n_0-N_\mathrm D\\ n_0 p_0=n^2_\mathrm i \end{matrix}\right. \]

得

\[n_0=\frac{N_\mathrm D+\sqrt{N^2_\mathrm D+4n^2_\mathrm i}}{2} \qquad\textcolor{red}{\text{(15-a)}} \]

\[p_0=\frac{-N_\mathrm D+\sqrt{N^2_\mathrm D+4n^2_\mathrm i}}{2} \qquad\textcolor{red}{\text{(15-b)}} \]

\[\begin{align} E_\mathrm F&=E_\mathrm i+k_0 T\ln\left(\frac{N_\mathrm D+\sqrt{N^2_\mathrm D+4n^2_\mathrm i}}{2n_\mathrm i}\right) \\ &=E_\mathrm c+k_0 T\ln\left(\frac{N_\mathrm D+\sqrt{N^2_\mathrm D+4n^2_\mathrm i}}{2N_\mathrm c}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(F-5)}} \end{align} \]

1. 强电离区(饱和电离区)

2. 过渡区

3. 强本征激发区，\(N_\mathrm D\ll n_\mathrm i\)

\[E_\mathrm F=E_\mathrm i \qquad\textcolor{red}{\text{(F-6)}} \]

\[n_0=p_0=n_\mathrm i \qquad\textcolor{red}{\text{(16-a)}} \]

c. 饱和电离区范围(器件工作要求范围)

上限:电离度 \(D_+=\dfrac{n^+_\mathrm D}{N_\mathrm D}>90\%\)\
下限:杂质电离起作用,\(N_\mathrm D=10 n_\mathrm i\)

1. 温度一定 (EN-3)(EN-3')

• 杂质浓度上限

\[N_\mathrm D=\frac{1-D_+}{2D^2_+}N_\mathrm c\mathrm{exp}\left(-\frac{\Delta E_\mathrm D}{k_0 T}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(17)}} \]

\[D_+=90\%\Rightarrow N_\mathrm{Dmax}=0.062N_\mathrm c\mathrm{exp}\left(-\frac{\Delta E_\mathrm D}{k_0 T}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(18)}} \]

• 杂质浓度下限

根据温度查表得 \(n_\mathrm i\),\(N_\mathrm{Dmin}=10n_\mathrm i \qquad\textcolor{red}{\text{(19)}}\)

2. 杂质浓度一定

• 温度下限

(17)(5-a) \(\Rightarrow\)

\[\frac{\Delta E_\mathrm D}{k_0 T}=\ln\left(0.062\times 2\frac{(2\pi m^*_\mathrm n k_0)^{3/2}}{h^3 N_\mathrm D}\right)+\frac{3}{2}\ln T \qquad\textcolor{red}{\text{(20)}} \]

作图法或迭代法求解\(T_{min}\)

• 温度上限

查 \(n_\mathrm i=N_\mathrm D /10\) 对应温度

五、一般情况下的载流子统计分布

电中性条件 \(p_0+\sum n^+_\mathrm D=n_0+\sum p^-_\mathrm A\)

\[\begin{align} N_\mathrm c\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm c-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)+ \frac{N_\mathrm A}{1+4\mathrm{exp}\left(-\dfrac{E_\mathrm F-E_\mathrm A}{k_0 T}\right)} =\\ N_\mathrm v\mathrm{exp}\left(-\frac{E_\mathrm F-E_\mathrm v}{k_0 T}\right)+ \frac{N_\mathrm D}{1+2\mathrm{exp}\left(-\dfrac{E_\mathrm D-E_\mathrm F}{k_0 T}\right)} \qquad {\text{(EN-5)}} \end{align} \]

• \(N_\mathrm D>N_\mathrm A\)

1. 饱和电离区

\[n_0=N_\mathrm D-N_\mathrm A \qquad{\text{(21-a)}} \]

\[E_\mathrm F=E_\mathrm c+k_0 T\ln\left(\frac{N_\mathrm D-N_\mathrm A}{N_\mathrm c}\right) \qquad\text{(F-7)} \]

2. 过渡区

\[n_0=\frac{N_\mathrm D-N_\mathrm A}{2}+\sqrt{\left(\frac{N_\mathrm D-N_\mathrm A}{2}\right)^2+n^2_\mathrm i} \quad\text{多子(22-a)} \]

\[p_0=-\frac{N_\mathrm D-N_\mathrm A}{2}+\sqrt{\left(\frac{N_\mathrm D-N_\mathrm A}{2}\right)^2+n^2_\mathrm i} \quad\text{少子(22-b)} \]

\[\begin{align} E_\mathrm F&=E_\mathrm i+k_0 T\ln\left[\frac{(N_\mathrm D-N_\mathrm A)+\sqrt{(N_\mathrm D-N_\mathrm A)^2+4n^2_\mathrm i}}{2n_\mathrm i}\right]\qquad\text{(F-8)} \\ &=E_\mathrm c+k_0 T\ln\left[\frac{(N_\mathrm D-N_\mathrm A)+\sqrt{(N_\mathrm D-N_\mathrm A)^2+4n^2_\mathrm i}}{2N_\mathrm c}\right] \qquad\text{(F-8)}' \end{align} \]

• $ N_\mathrm D<N_\mathrm A $

  类似讨论

六、简并半导体

高掺杂, \(E_\mathrm F\) 进入导带或价带

简并半导体载流子浓度

\(n_0 p_0\neq n^2_\mathrm i\),电中性条件仍然适用

\[n_0=N_\mathrm c\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}F_{1/2}\left(-\frac{E_\mathrm c-E_\mathrm F}{k_0 T}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(23-a)} } \]

\[p_0=N_\mathrm v\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}F_{1/2}\left(-\frac{E_\mathrm F-E_\mathrm v}{k_0 T}\right) \qquad\textcolor{red}{\text{(23-b)} } \]

费曼积分

\[F_{1/2}(\xi)=\int_0^{+\infty}\frac{x^{1/2}}{1+\mathrm e^{x-\xi}}\mathrm d x \]

\(F_{1/2}(0)=0.678,F_{1/2}(-2)=0.115\)

简并化条件

\(N_\mathrm D\) 接近或大于 \(N_\mathrm c\)

杂质浓度超过一定数量后，载流子开始简并化的现象称为重掺杂，这种半导体称为简并半导体

\[\begin{align} E_\mathrm c-E_\mathrm F>2k_0 T\qquad\qquad\text{非简并}\\ 0<E_\mathrm c-E_\mathrm F<2k_0T\qquad\text{弱简并}\\ E_\mathrm c-E_\mathrm F\leq 0\qquad\qquad\qquad\text{简并} \end{align} \]

取 \(E_\mathrm F=E_\mathrm c\) 时为简并化条件，发生简并时
$ N_\mathrm D=0.68N_\mathrm c\left[1+2\mathrm{exp}\left(\dfrac{\Delta E_\mathrm D}{k_0T}\right)\right]$

*低温载流子冻析效应

*禁带变窄效应