「高等数学学习笔记 DAY23」

闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

先说明最大值和最小值的概念.对于区间 \(I\) 上有定义的函数 \(f(x)\),如果有 \(x_0\in I\),使得 \(\forall x\in I\),\(\exists\ f(x)\leq f(x_0)(f(x)\geq f(x_0))\),那么就称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的最大值(最小值).

定理1(有界性与最大值最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界,且一定能取到它的最大值和最小值.

这就是说,如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,那么存在常数 \(M>0\),使得对于任一 \(x\in[a,b]\),满足 \(|f(x)|\leq M\);且至少有一个点 \(\xi_1\),使 \(f(\xi_1)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最大值;又至少有一点 \(\xi_2\),使得 \(f(\xi_2)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最小值.

注意:函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在改区间上不一定有界,也不一定有最大值和最小值.

零点定理和中介定理

如果 \(x_0\) 使 \(f(x_0)=0\),那么就称为函数 \(f(x)\) 的零点.

定理2(零点定理)

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号(即 \(f(a)\cdot f(b)<0\)),则在开全景 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\),使得$$f(\xi)=0.$$

从几何上看,定理2表示:如果连续曲线弧 \(y=f(x)\) 的两个端点位于 \(x\) 轴的不同侧,那么这段曲线弧与 \(x\) 轴至少有一个交点.

由定理2可以推出下列较一般性定理.

定理3(介值定理)

**设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值$$f(a)=A\ f(b)=B,$$则对于 \(A\) 和 \(B\) 之间的任意一个数 \(C\),在开区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\),使得$$f(\xi)=C(a<\xi<b).$$

证明较简单,略.

推论

在闭区间 \([a,b]\) 上连续的函数 \(f(x)\) 的值域为 \([m,M]\),其中 \(m\) 和 \(M\),依次为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最小值和最大值.