概念

定义&特征

  • 解不确定的方程，与之对应的是有确定解的方程。
  • 举个栗子
    • 确定方程：如 \(2x+2=0\)。
    • 不定方程：如 \(7x+15y=1\)。
  • 判定条件：当未知数个数多于方程数量时即为不定方程，比如两个未知数 \(x\)，\(y\) 但只有一个方程。

解的限制条件

  • 必要性：若无限制条件，解可以是任意实数。
  • 常见的限制类型
    • 整数解（数论主要研究对象
    • 正整数解
    • 有理数解

二元一次不定方程

  • 标准形式：\(ax+by=c\)（\(a,b,c\in z\)）
  • 研究重点：整数解的存在性与求解方法

二元一次不定方程的整数解

  • 定理一
    • \(a\) 和 \(b\) 互质。
      • 若 \(a\) 和 \(b\) 互质，则存在整数 \(x\) 和 \(y\) 使得 \(ax+by=1\) 成立。
      • 推广形式：对于任意整数 \(c\)，可通过将特解 \((x_0,y_0)\) 扩大 \(c\) 倍得到新解 \((cx_0,cy_0)\)，使得 \(ax+by=c\) 成立。
    • 裴蜀定理：\(a,b\) 互质的充分必要条件是存在整数 \(x,y\) 使 \(ax+by=1\)。
    • 求解 \(x,y\) 使 \(a\) 倍 \(x+b\) 倍 \(y\) 等于 \(c\) 的方法。
      • 试值法：当 \(a,b\) 互质时，可通过有限次尝试找到解：
        • 将方程变形为 \(ax=c-by\) 或 \(by=c-ax\)。
        • 对 \(y\) 尝试 \(0-|a|-1\) 的整数值。
        • 必存在一个尝试值使右边能被另一个系数整除。
        • 优化技巧：选择系数较小的变量进行尝试可减少计算量。
  • 定理二
    • 非互质情形：设 \(d=(a,b)>1\)，令 \(a=a_1 d\)，\(b-b_1d\)，则方程可转化为 \(d(a_1x+b_1y)=c\)。
    • 解的存在条件：
      • 当且仅当 \(d\) 整除 \(c\) 时方程有解。
      • 若 \(d\nmid c\)，则方程无整数解。
    • 求解方法
      • 先约简为 \(a_1x+b_1y=c/d\)。
      • 按定理一方法求解后，解的形式保持不变。
  • 定理三
    • 解的结构：若 \((x_0,y_0)\) 是 \(ax+by=c\) 的特解，那么通解为 \(x=x_0+bk\)，\(y=y_0=ak\)。
    • 通过加减，\(a,b,k\) 保持等式平衡：\(a(x_0+bk)+b(y_0-ak)=ax_0+by_0=c\)。

高次不定方程的整数解

  • 整理式子。
  • 枚举常数式的因子。
  • 分类讨论。