小波分析及分数傅里叶变换（1）

去年在MasterClass上了一门陶哲轩的入门数学课，在某个瞬间突然get到数学的优美和逻辑性。恰好同事是数学系的，在同一个小组，由此与他有了更多的交流，于是开始慢慢看数学相关的课程，他推荐了中科大史济怀老师的《数学分析》以及哈工大冉启文老师的《小波分析及分数傅里叶变换》。最近在先看冉启文老师的课，把一些感性的随想写在这里。

小波变换与傅里叶变换最核心的区别在于当傅里叶变换中的ω固定时，傅里叶变换只能够分析固定ω下的频率分量，即分析瞬时频率f(t)时，只要ω不同，其傅里叶变换得到的f(ω)就不同，而无法分析一段时间内的局部频率。在这个基础上，小波变换将傅里叶变换原有的一维信息上升到了二维，给出尺度参数a和平移参数b来确定出小波母函数φ(t)，小波母函数最核心的是它积分时使用的测度(dadb/a^2)，有了这个测度，当0<a<1时，信号w_f(a,b)的性质被放大，因此在a的取值上不能直接等间距取，而是要按照幂指数的方式进行离散化，由此能够将连续分析转化为离散分析，并且两者数学形式保持一致。

其中最基础且常用的小波有两种———香农小波和哈尔小波，这两者可以单独开一篇来写。

多分辨分析的核心是使用新的视角去看原有的空间，即通过V_j+1 = V_j + W_j来进行小波算法的分解和重构。其中V_j和W_j分别是尺度方程和小波方程所在的空间，通过构造这两个空间的标准正交基和标准正交系来确定V_j+1，也可以通过V_j+1和V_j来确定W_j,分别得到低通滤波器和带通滤波器（高通滤波器），这个部分在图像处理的噪声分析中能够得到更广和更深的应用，这也是我学习小波变换最核心的目的————通过小波算法的高通滤波器和低通滤波器对图像中的随机噪声和热噪声进行分析，进而更好地指导降噪算法的设计。

老师在讲到第27-28小节时，将小波算法拉到哲学维度————小波算法提供不同的标准正交基（即新的坐标空间）来重新看待一个向量，从不同的角度看待同一个问题，最后挑出一个较好的途径。这对于工程实践和写代码有很多启发。