Codeforces Round #633(Div.2) E. Perfect Triples

E. Perfect Triples

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题目概要：

有一个无限大的数组\(s\)。(开始为空)
每次找到字典序最小的三个数\((a,b,c)\)满足：

• \(a\oplus b\oplus c=0\).
• \(a,b,c\notin s\).
  \(t\)次询问，每次问数组第\(n\)项是多少。

思路：

打表后我们发现，三元组的第一项始终是 \(4^x\)后一段连续的数。这样我们尝试在二进制下两位两位的转移
（也就是四进制，为了使异或看起来方便我们这样描述）：
每两位可以取的数值是\(00，01，10，11\)。
首先假设已经用完了\(1 \to 4^n-1\)的数，现在考虑\(4^n \to 4^{n+1}-1\)。
要得到 \(a<b<c\) ，最高的两位只能是\(01，10，11\)，也就是说\(a,b,c\)最高的两位互不相同。
现在前两位已经知道了，我们继续往下看。
我们先把样例给出的几项（二进制）用下表的形式展示：

\(a\)	\(b\)	\(a\oplus b\)
\(00\)	\(00\)	\(00\)
\(01\)	\(10\)	\(11\)
\(10\)	\(11\)	\(01\)
\(11\)	\(01\)	\(10\)
我们大胆猜测，（以两位为单位）在四进制下，所有的数值都满足以上条件。

• 两位的情况下\((a,b,c)\)只有\(1，2，3\)，显然满足。
• 假设\(2k\)位的情况下\(a,b,c\)都满足，验证\(2k+2\)位：
  我们先把这\(2k\)位左移两位（设其中任意一对数值是\(pa,pb,pc\)，显然\(pa \oplus pb=pc\)），在字典序最小的情况下我们首先考虑\(a\)：
  \(00\)：显然\(pa+00,pb+00,pc+00\)成立。
  \(01\)：对于\(b\)，\(00，01\)都不成立（\(b,c\)出现重复），此时应为 \(pa+01,pb+10,pc+11\)。
  ...
  剩下的手推便会发现的确满足上表。

这样我们只要确定第\(n\)个数所属的三元组\((a,b,c）\)的\(a\)即可确定这个值。

代码：

#include "iostream"
#include "stdio.h"
#include "string.h"
#include "algorithm"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=1e6+5;
const ll mod=998244353;
const double eps=1e-5;
//const double pi=acos(-1);

#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
ll f[3][4]={{0,3,1,2},{},{0,2,3,1}};
void solve(ll x,int y)
{
    if(y==1)
    {
        printf("%lld\n",x);
        return;
    }
    ll ans=0,p=1;
    while(x)
    {
        ans=ans+f[y][x%4]*p;
        x>>=2;
        p<<=2;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int _;
    ll n;
    cin>>_;
    while(_--)
    {
        cin>>n;
        ll j=1,a;
        while(j<=n) j<<=2;
        j>>=2;
        if(j+2>=n) a=j;
        else a=j+(n-j)/3;
        solve(a,n%3);
    }
    return 0;
}