CF836F 做题笔记

传送门

非常好题目，使我原地旋转。

首先数据这么小显然直接暴力求出每个 \(A_i\) 的取值范围。

由于每个 \(A_i\) 只能有一个取值，所以源点先给所有 \(A_i\) 连一个限流为 \(1\) ，费用为 \(0\) 的边。

同时显然还要给每个值域点 （不是 \(A_i\) ）向汇点连限为 \(inf\)，费用为 \(0\) 的边。（显然多少个 \(A_i\) 取同一个值没有限制）

由于答案有关 \(cnt(i)^2\) ，非常的难处理，所以要用到一个很妙的 Trick 。

考虑先拆点，将 \(n\) 个值域点全部拆成入点和出点，接着对于每个入点向对应的出点连着连 \(n\) 条边，限流都是 \(1\) ，代价依次为 \(1,3,5\ .\ .\ .\ 2n-1\) 。

最后就只要每个 \(A_i\) 向所有可取的值的入点连边即可。

这里的妙处在于 \(1+2+...+(2n-1)=n^2\) ，而每条边限流都是 \(1\) ，那么跑费用流时同一取值就会优先从代价为 \(1,3,5\ .\ .\ .\) 依次流经，最后就可以实现对于颜色 \(i\) 代价正好为 \(cnt(i)^2\)。

code

//writer:Oier_szc

#include <bits/stdc++.h>
//#include <windows.h>
#define TS cerr<<"I AK IOI"<<endl;
#define cr(x) cerr<<x<<endl;
#define cr2(x,y) cerr<<x<<" "<<y<<endl;
#define cr3(x,y,z) cerr<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl;
//#define int long long
using namespace std;
const int N=205,M=2e4+5,INF=2e9,mod=1e9+7;
int n,m,s,t,ans=0;
int l[N],r[N];
int head[N],tot=1;
struct node
{
	int ne,to,w,c;
}e[M];
void add(int u,int v,int w,int c)
{
	e[++tot]={head[u],v,w,c};
	head[u]=tot;
	e[++tot]={head[v],u,0,-c};
	head[v]=tot;
}
int dis[N],vis[N],incf[N],pre[N];
bool spfa()
{
	for(int i=s;i<=t;++i)
	{
		dis[i]=incf[i]=INF;
		vis[i]=false;
		pre[i]=-1;
	}
	queue<int> q;
	q.push(s),dis[s]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int now=q.front(),to;
		q.pop();
		vis[now]=false;
		for(int i=head[now];i;i=e[i].ne)
		{
			to=e[i].to;
			if(e[i].w&&dis[now]+e[i].c<dis[to])
			{
				dis[to]=dis[now]+e[i].c;
				incf[to]=min(incf[now],e[i].w);
				pre[to]=i;
				if(!vis[to])
				{
					vis[to]=true;
					q.push(to);
				}
			}
		}
	}
	return dis[t]!=INF;
}
void MCMF()
{
	while(spfa())
	{
		int ls,x=t;
		ans+=incf[t]*dis[t];
		while(x!=s)
		{
			ls=pre[x];
			e[ls].w-=incf[t];
			e[ls^1].w+=incf[t];
			x=e[ls^1].to;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int op,L,R,x;
	for(int i=1;i<=n;++i) l[i]=1,r[i]=n;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&op,&L,&R,&x);
		if(op==1)
		{
			for(int j=L;j<=R;++j) l[j]=max(l[j],x);
		}
		else if(op==2)
		{
			for(int j=L;j<=R;++j) r[j]=min(r[j],x);
		}
	}
	s=0,t=3*n+1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		add(i+n+n,t,INF,0);
		for(int j=1;j<=n;++j) 
		{
			add(i+n,i+n+n,1,2*j-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(l[i]>r[i])
		{
			printf("-1\n");
			return 0;
		}
		add(s,i,1,0); 
		for(int j=l[i];j<=r[i];++j) add(i,j+n,1,0);
	}
	MCMF();
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}