扩展中国剩余定理学习笔记

扩展中国剩余定理

模板题：P4777

前置芝士：扩展欧几里得（exgcd）

不需要中国剩余定理。

问题：求

\(\begin{cases}x\equiv m_1\ (\mod\ a_1)\\x\equiv m_2\ (\mod\ a_2)\\ ...\\x\equiv m_3\ (\mod\ a_3)\end{cases}\)。

的最小整数解。

我们可以先关注前两个方程。

简单转换，可得：

\(\begin{cases}x=k_1\times a_1+m_1\\x=k_2\times a_2+m_2\end{cases}\)

所以

\(k_1 \times a_1+m_1 = k_2\times a_2+m_2\)
\(k_1\times a_1-k_2\times a_2 = m_2-m_1\)

标准的拓欧板子，我们先用拓欧求出\(k_1\)的一个特解\(kk_1\) 。

接着发现\(k_1\)的通解为\(kk_1+k\times \frac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)}\) 。

带入\(x=k_1 \times a_1+m_1\)

得：

\(x=(kk_1+k\times \frac{a_2}{\gcd(a_1,a_2)})\times a_1+m_1\)
\(\ \;\,\,=a_1\times kk_1+m_1+k \times \operatorname{lcm}(a_1,a_2)\) 。

现在很明显了，让 \(a_1\times kk_1+m_1\) 作新的\(m\) , \(\operatorname{lcm}(a_1,a_2)\) 作新的\(a\) 。

将这个柿子和接下来的柿子滚雪球一样一直合并，最后得出的最终方程中的\(m\)即为答案，记得化成最小正整数。

注意点：

\(1.\) 若合并过程中出现无解，即在求解特解\(kk1\)时出现\(\gcd(a_1,a_2) \nmid (m_2-m_1)\)整个方程就都无解，直接退出。（当然这里保证有解）

\(2.\) 有一个大数据要__int128或龟速乘，快速乘之类的，请注意。

code

#define int long long
using namespace std;
int n;
bool has_ans=true;
int a1,m1;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	scanf("%lld%lld",&a1,&m1);
	for(int i=1;i<=n-1;++i)
	{
		int a2,m2;
		scanf("%lld%lld",&a2,&m2);
		int k1,k2;
		int d=exgcd(a1,a2,k1,k2);
		if((m2-m1)%d)
		{
			has_ans=false;
			break;
		}
		k1*=(m2-m1)/d;
		int t=a2/d;
		k1=(k1%t+t)%t;
		m1=a1*k1+m1;
		a1=abs(a1/d*a2);
	}
	if(has_ans) 
	{
		printf("%lld",(m1%a1+a1)%a1);
	}
	else printf("-1");
	return 0;
}```