解题报告-洛谷P3462 [POI 2007] ODW-Weights

P3462 [POI 2007] ODW-Weights

题目描述

在搬迁到一个新的园区时，Byteotian 实验物理研究所遇到了一个后勤问题——转移其庞大的精密砝码收藏变得不那么简单。

研究所有若干个强度有限的容器可供使用。需要尽可能多地将砝码放入容器中，剩下的将被丢弃。除了不超过容器的强度外，放入容器中的砝码数量没有限制。一个容器也可以是空的。

研究所的任意两个砝码有一个特殊的性质：其中一个的质量是另一个质量的整数倍。特别地，它们可能具有相同的质量。

任务编写一个程序：

从标准输入中读取容器的强度和砝码的质量，确定可以放入容器中的最大砝码数量，将结果写入标准输出。

输入格式

标准输入的第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)（\(1\le n,m\le 100\ 000\)），用单个空格分隔，分别表示容器的数量和砝码的数量。标准输入的第二行由 \(n\) 个整数 \(w_i\)（\(1\le w_i\le 1\ 000\ 000\ 000\)，\(1\le i\le n\)）组成，用单个空格分隔，表示容器的强度（单位：毫克）。第三行有 \(m\) 个整数 \(c_j\)（\(1\le c_j\le 1\ 000\ 000\ 000\)，\(1\le j\le m\)），用单个空格分隔，表示砝码的质量（单位：毫克）。

输出格式

标准输出的第一行应包含一个整数——可以放入容器中的最大砝码数量，而不超过其强度。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 4
13 9
4 12 2 4

输出 #1

3

说明/提示

（由 ChatGPT 4o 翻译）

解题报告

算法：贪心、进制

开了眼了，没想到可以用进制来贪心。

首先，显然将原数组 $ { c_j } $ 排序后，对于 $ \forall j \in [2,m] \(，\) \exist k \in \N_+ $，使得 $ k \times c_{j-1}=c_j $。

然后有一个经典的贪心操作：对于每个 \(c_j\)，尽可能选择一个当前最小的可以装下 \(c_j\) 的 \(w_i\)，将 \(w_i\) 修改为 \(w_i-c_j\)。

然后有一个很妙的解法。

我们设数组 \(\{ p_k \}\) 为数组 \(\{ c_j \}\) 去重后从大到小排序后的结果。

那么就可以把每个 \(w_i\) 拆为 \(\sum ( t_k \times p_k)\)，同时为了拆分的唯一性和便于贪心，我们让更大的 \(p_k\) 对应的系数 \(t_k\) 尽可能的大。

这里就可以看出来了，我们在进行一个类似进制转化的过程，系数数组 \(\{t_k\}\) 就是转化的结果，数组 \(\{p_k\}\) 就是进制规则（逢 \(p_k\) 进 \(1\)）。

那么，我们只需把每个 \(w_i\) 的系数 \(\{ t_k \}\) 按 \(p_k\) 统计为 \(cnt_{p_k}\)，对每一个 \(c_j\)，判断 \(cnt_{c_j}\) 是否为 \(0\)，是的话尝试向更高位借 \(1\)，借不到则无法装下了，否则可以成功装下。这和之前的贪心思路等价。

于是解决了，时间复杂度 \(O( n \log max\{ w_i \} )\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=101100;
const int lg=32;

#define ckmax(x,y) ( x=max(x,y) )
#define ckmin(x,y) ( x=min(x,y) )

inline int read()
{
	int f=1,x=0; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(isdigit(ch))  { x=x*10+ch-'0';    ch=getchar(); }
	return f*x;
}

int n,m,ans,w[N],c[N];
int cnt[lg],p[lg],pos[N],tot;

bool dfs(int i)
{
    if(i>tot) return false;
    if(cnt[i]) { cnt[i]--;return true; }
    if(dfs(i+1))
    {
        cnt[i]+=p[i+1]/p[i]-1;
        return true;
    }
    return false;
}

signed main()
{
	freopen("mushroom.in","r",stdin);
	freopen("mushroom.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=read();
    sort(c+1,c+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(c[i]!=c[i-1])
          p[++tot]=c[i];
        pos[i]=tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=tot;j;j--)
     {
         if(!w[i]) break;
         cnt[j]+=w[i]/p[j];
         w[i]%=p[j];
     }
    for(int i=1;i<=m;i++)
      if(dfs(pos[i])) ans++;
      else break;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}