解题报告-梦熊 CSP-S2025 模拟赛T2

P14309 【MX-S8-T2】配对

题目背景

争者留其名。

题目描述

给定一个 $n$ 个点的树，点的编号为 $1 \sim n$，边的编号为 $1 \sim n - 1$。第 $i$ 条边连接 $u_i$ 和 $v_i$，长度为 $w_i$。每个点有个 01 权值 $c_i$。

现在你可以至多进行一次下面操作：选择两个点 $u,v$，交换 $c_u, c_v$ 的值。

记 $\operatorname{dis}(u,v)$ 表示树上两点 $u$ 和 $v$ 之间的距离，距离定义为连接它们的唯一简单路径中边的长度之和。

接下来依次进行下面的操作：

定义一个变量 $r=0$。
选择两个不同的点 $u, v$，使得 $c_u=c_v=1$，若无法选出则结束。
令 $c_u=c_v=0$，令 $r$ 加上 $\operatorname{dis}(u,v)$。
回到第 2 步。

你希望通过选择合适的操作（包括初始时的交换 $c_u, c_v$ 的操作，以及选择 $u, v$ 令 $r$ 增加 $\operatorname{dis}(u,v)$ 的操作）以最小化结束时的 $r$，求出 $r$ 可能的最小值。

输入格式

第一行，一个正整数 $n$。

第二行，$n$ 个非负整数 $c_1, \ldots, c_n$，表示每个点的权值。

接下来 $n-1$ 行，第 $i$ 行三个正整数 $u_i,v_i,w_i$，表示第 $i$ 条边。

输出格式

输出一行，一个整数 $r$。

输入输出样例 #1

输入 #1

8
1 0 0 0 1 1 1 1
1 2 4
1 3 3
2 4 2
2 5 1
3 6 1
3 7 2
4 8 1

输出 #1

说明/提示

【样例解释 #1】

一种可能的操作方式是：

首先一次操作选择 $u=8, v=2$，交换 $c_u,c_v$，目前 $c$ 为 $1$ 的位置有 $1,2,5,6,7$。

接下来，$r=0$：

选择 $u=2,v=5$，$\operatorname{dis}(2,5)=1$，$r$ 变为 $1$。
选择 $u=6,v=7$，$\operatorname{dis}(6,7)=3$，$r$ 变为 $4$。
无法继续选出两个位置 $u,v$ 满足 $u\ne v$ 且 $c_u=c_v=1$，操作结束。

最终答案 $r=4$，可以证明没有更小的答案。

【样例 #2】

见附件中的 $\textbf{\textit{match/match2.in}}$ 与 $\textbf{\textit{match/match2.ans}}$。

该组样例满足测试点 $3\sim 5$ 的约束条件。

【样例 #3】

见附件中的 $\textbf{\textit{match/match3.in}}$ 与 $\textbf{\textit{match/match3.ans}}$。

该组样例满足测试点 $6\sim 10$ 的约束条件。

【样例 #4】

见附件中的 $\textbf{\textit{match/match4.in}}$ 与 $\textbf{\textit{match/match4.ans}}$。

该组样例满足测试点 $15\sim 20$ 的约束条件。

【数据范围】

本题共 $20$ 个测试点，每个 $5$ 分。

对于所有数据，保证：

$2 \leq n \leq 10^6$；
$1 \leq w_i \leq 10^9$；
$c_i \in \{0, 1\}$；
$1 \leq u_i, v_i \leq n$；
保证输入的边构成一棵树。

测试点编号	$n \leq$	特殊性质
$1 \sim 2$	$5$	无
$3 \sim 5$	$100$	^
$6 \sim 10$	$300$	有
$11 \sim 12$	$10^4$	^
$13 \sim 14$	$10^6$	^
$15 \sim 20$	^	无

特殊性质：保证 $\sum_{i=1}^n c_i$ 为偶数。

解题报告

参考题解：题解：P14309 【MX-S8-T2】配对 - 洛谷专栏

哇啊啊啊啊！！！我的树形 DP 简直是一坨！

不过也确实是个很好的题。

简化问题，我们先不考虑交换操作。

首先，对于 $\sum c_i$ 为偶数的情况，对于一颗以节点 $u$ 为根的子树，只有子树内的点的 $\sum c_i$ 为奇数时，我们才统计上从 $u$ 的父节点到 $u$ 的边的边权。

对于树上的任意一条边 $e(x,y)$，可以把整棵树分成两个联通块点集 $x,y$，由于 $\sum c_i$ 为偶数，那么 $\sum c_i(i \in x)$ 和 $\sum c_j(j \in y)$ 一定奇偶性相同。边 $e(x,y)$ 产生的费用就是经过这条边的配对个数。

当两个联通块的 $\sum c_i$ 同为奇数时，边 $e(x,y)$ 肯定会被经过一次。

对于两个点 $x_1$、$x_2$ $\in x$ 和另两个点 $y_1、y_2\in y$，存在两种配对：$x_1 \rightarrow u \rightarrow v \rightarrow y_1,x_2 \rightarrow u \rightarrow v \rightarrow y_2$ 和 $x_1 \rightarrow u \rightarrow x_2,y_1 \rightarrow v \rightarrow y_2$。

显然，这两种都有四段相同的路径 $ x_1 \rightarrow u,x_2 \rightarrow u,y_1 \rightarrow v,y_2 \rightarrow v$ ，但是第一种配对还多了两倍边 $e(x,y)$ 的费用，不如第二种。

对于 $\sum c_i$ 为奇数的情况，我们发现，使一个点不和其它点匹配，本质上就是把它的 $c_i$ 变成 $0$，可以考虑树形 DP，设 $dp[u][0/1]$ 表示把子树 $u$ 中把 $0/1$ 个 $c_i=1$ 点变成 $c_i=0$，方程很好推，暴力合并子节点的解在算上自己的价值就好了。

再考虑加上交换操作，等价为把其中一个 $c_i=1$ 变成 $c_i=0$，在把另一个 $c_i=0$ 变成 $c_i=1$，可以继续树形 DP。

最终的状态数组为 $dp[u][0/1/2][0/1]$，表示把子树 $u$ 中 $0/1/2$ 个 $c_i=1$ 点变成 $c_i=0$，把 $0/1$ 个$c_i=0$ 的点变成 $c_i=1$。

转移方程很像树上背包，具体看代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=(1E+18)+10;
const int N=1000001;

#define ckmax(x,y) ( x=max(x,y) )
#define ckmin(x,y) ( x=min(x,y) )

inline int read()
{
	int f=1,x=0; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(isdigit(ch))  { x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0'; ch=getchar(); }
	return f*x;
}

bool c[N];
int n;

struct edge
{
    int next,to;
    int dis;
}e[N<<1];
int head[N],tot;

inline void add_edge(int u,int v,int w)
{
    e[++tot]=(edge){ head[u],v,w };head[u]=tot;
    e[++tot]=(edge){ head[v],u,w };head[v]=tot;
}

int cnt[N],w[N],d[N];

void dfs(int u,int fa)
{
    cnt[u]=c[u];
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        cnt[u]+=cnt[v];
        w[v]=e[i].dis;
    }
    cnt[u]%=2;
}

int dp[N][3][2];
int tmp[3][2];

void calc(int u,int fa)
{
    for(int i=0;i<3;i++)
     for(int j=0;j<2;j++)
        dp[u][i][j]=INF;
    if(d[u]==1 && u!=1)
    {
        dp[u][0][0]=w[u]*cnt[u];
        if(c[u])
          dp[u][1][0]=(!cnt[u])*w[u];
        else
          dp[u][0][1]=(!cnt[u])*w[u];
        return ;
    }
    dp[u][0][0]=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;
        calc(v,u);
        memcpy(tmp,dp[u],sizeof(dp[u]));
        for(int j=0;j<3;j++)
         for(int k=0;k<2;k++)
         {
             dp[u][j][k]=INF;
             for(int s=0;s<=j;s++)
              for(int t=0;t<=k;t++)
                ckmin(dp[u][j][k],tmp[s][t]+dp[v][j-s][k-t]);
         }
    }

    if(c[u])
    {
        for(int i=2;i>0;i--)
         for(int j=0;j<2;j++)
           ckmin(dp[u][i][j],dp[u][i-1][j]);
    }
    else
    {
        for(int i=2;i>=0;i--)
          ckmin(dp[u][i][1],dp[u][i][0]);
    }
    for(int i=0;i<3;i++)
     for(int j=0;j<2;j++)
       dp[u][i][j]+=w[u]*( cnt[u]^( (i+j)%2 ) );
}

signed main()
{
	freopen("MX-S8-T2.in","r",stdin);
	freopen("MX-S8-T2.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read();
        add_edge(u,v,w);
        d[u]++,d[v]++;
    }
    dfs(1,0),calc(1,0);
    if(!cnt[1])
      printf("%lld\n",min( dp[1][1][1],dp[1][0][0] ) );
    else
      printf("%lld\n",min( dp[1][2][1],dp[1][1][0] ) );
	return 0;
}

posted @ 2025-10-27 19:42 南北天球阅读(15) 评论(0) 收藏举报

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测试点编号	\(n \leq\)	特殊性质
\(1 \sim 2\)	\(5\)	无
\(3 \sim 5\)	\(100\)	^
\(6 \sim 10\)	\(300\)	有
\(11 \sim 12\)	\(10^4\)	^
\(13 \sim 14\)	\(10^6\)	^
\(15 \sim 20\)	^	无

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