网络流学习笔记

题单+1

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网络流

• 一个有向图，每条边描述一个有向的限制条件，如果我们把它类比为水流的话，每条边就维护一个最大的水流量（容量）。

• 一般有一个源点（可以流出无限多的水）和一个汇点（所有流进图中的水流都会流入的点）

最大流

• 对于如上这样一个图，求最大能从源点到汇点流多少水。

EdmondKard 算法

• 每次找出一条从源点到汇点的径流，然后把途经的边容量都减去当前流量。
  建立反向边，每条途经的边的反向边都加上当前流量。
  重复以上操作，直到不存在任何一个新的流从源点到汇点。

tips：为了节省空间，方便后续查找，一般原边和反向边一起建，\(tot\) 从 \(2\) 开始，这样就可以通过异或运算得到某条边的反向边的编号。

Dinic 算法

• 在 \(\mathtt{EK}\) 基础上的优化。

• 将原图进行 \(\mathtt{bfs}\) 分层，然后限制每个流经过的边的端点必须是相邻层中的点，这样就可以同时搜索多个从源点到汇点的流。
  通过 \(\mathtt{DFS}\) 实现具体搜索，因此可以在回溯时修改边的容量（包括反向边）。

tips：如果在搜索中发现向下的某个点能流的流量是 \(0\)，可以直接通过修改 \(dep_i\) 的值将其修改为不可访问。

当前弧优化：记录一个 \(now_i\)，表示走到 \(i\) 点后再深入应该从哪条边开始。最初 \(now_i=head_i\)。
这样可以避免一些无用的递归。（比如一些已经不能再产生流量的边）

tips

• 一些小技巧。

• 拆点：当题目中有一些用朴素网络流难以处理的限制条件时，我们可以考虑拆点。比如限制某一个点代表的信息只能使用 \(x\) 次这种条件。
  一般拆法是将这个点拆为一个入点 \(in_i\) 和一个出点 \(out_i\)，通过 \(in_i\) 到 \(out_i\) 的边的容量来限制这个条件。（如 P2766 最长不下降子序列问题）
  有时需要考虑时间，按时间分层建图，可以将每个点对应时间拆成很多个点。（如 P2754 [CTSC1999]家园 / 星际转移问题）

• 连边方式：比如一道很经典的问题，有 \(F\) 种食品，\(D\) 种饮品，\(n\) 个人各有喜欢的一些食品和饮品，每种食品或饮品都只能被食用一次，求最多能让多少个人满足。
  解决方案为从源点向食品连一条容量为 \(1\) 的边，每种食品向喜欢它的人连一条容量为 \(1\) 的边，每个人拆成入点和出点，中间边的容量也是 \(1\)，出点再向它喜欢的饮品连一条容量为 \(1\) 的边，饮品再向汇点连容量为 \(1\) 的边。（当然把食品和饮品的相对位置换一下也可以）