背包真假小记

前言
CF3B Lorry
比赛G题
JZOJ 5184 Gift
JZOJ 4224 食物
JZOJ 6309 完全背包
后续

前言

传统意义上的背包是有一些众所周知的定义和判断性质的
有\(n\)件物品，每件物品有价值、体积、数量（1个、无限、规定数量）等属性（一般就是这三个），彼此可能存在依赖或排斥，现在要把它们尽量放入一个容积为\(m\)的背包里，问获得的最大价值
然后主要分为01背包、完全背包、多重背包等（比如还有混合背包（前三个总和）、二维费用背包、分组背包等）

01背包:时间复杂度\(O(nm)\)，空间复杂度\(O(m)\)

完全背包:时间复杂度\(O(nm)\),空间复杂度\(O(m)\)

多重背包:时间复杂度\(O(nm\sum cnt)\),空间复杂度\(O(m)\)，二进制优化时间复杂度变成\(O(nm\log \sum cnt)\)

多重背包单调队列优化:时间复杂度\(O(nm)\)，空间复杂度\(O(m)\)

不管怎样，背包问题始终无法脱离时间复杂度\(O(nm)\)，空间复杂度\(O(m)\)的框框吧（至少我现在是这么认为的）

那么对于\(n,m\)超过\(10000\)很有可能并不是背包。

而且注意背包问题是不能够贪心的，除了部分背包（可以塞一部分当然按性价比排序，它也不属于背包）

然后一旦题目的模型可以转换成背包，可以暗暗庆幸——又是道思维题（然而我连模型转换都不会，我太菜了）

CF3B Lorry

题目

有\(n(1\leq n\leq 10^5)\)件物品，每件物品有自身的价值（\(\leq 10^4\)）和体积（1或2）,背包大小为\(m(1\leq m\leq 10^9)\)，问可获得的最大价值，并输出其中一种方案（所选每件物品的编号）

分析

背包真假鉴定：假（时空都不允许）

考虑给的限制，体积为1或2，那只能是贪心，但是怎么贪，

首先肯定选价值大的，有体积的影响就分别降序排序

如果选了若干个体积为1的，那么肯定剩下全部用体积为2的填（反过来同理）

所以可以排序后将体积为2的弄成前缀和，那么我选了价值最大的一部分体积为1的物品，再用\(\text{if}\)判断填完体积2的答案会不会更好，再标记选择的编号

所以就是一道妥妥的贪心题

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
struct rec{
	int w,rk;
	bool operator <(const rec &t)const{
	     return w>t.w;
	}
}c1[100011],c2[100011];
int n,m,n1,n2,s[1000011],ans,p1,p2;
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans; 
}
inline void print(int ans){
	if (ans>9) print(ans/10);
	putchar(ans%10+48);
}
signed main(){
	n=iut(),m=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		rr int x=iut(),y=iut();
		if (x==1) c1[++n1]=(rec){y,i};
		    else c2[++n2]=(rec){y,i};
	}
	sort(c1+1,c1+1+n1),sort(c2+1,c2+1+n2);
	for (rr int i=1;i<=n2;++i) s[i]=s[i-1]+c2[i].w;
	for (rr int i=0,sum=0;i<=n1;++i){
		rr int now=(m-i)>>1; sum+=c1[i].w;
		if (now<0) break; if (now>n2) now=n2;
		if (sum+s[now]>ans) ans=sum+s[now],p1=i,p2=now;
	}
	print(ans),putchar(10);
	for (rr int i=1;i<=p1;++i) print(c1[i].rk),putchar(32);
	for (rr int i=1;i<=p2;++i) print(c2[i].rk),putchar(32);
	return 0;
}

比赛G题

题目

有\(n(1\leq n\leq 2*10^6)\)件物品，每件物品有自身的价值（1或2）和体积（\(\leq 10^9\)）,背包大小为\(m\)，问可获得的最大价值

分析

上一题已经揭示这题应该差不多，然而数据被部分背包水过去了
考虑二分答案，把体积和价值反过来，判断最小价值（原体积）是否不超过背包大小
和上一题有些不同的是，这题二分的背包大小（不是原来的\(m\)）可以变大，
换一句话说背包必须得塞满，具体细节可以思考一下

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
int n,c1[2000011],c2[2000011],n1,n2,l,r; long long wm,s[2000011];
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans; 
}
inline void print(int ans){
    if (ans>9) print(ans/10);
    putchar(ans%10+48);
}
inline bool check(int m){
	rr long long ans=wm+1,sum=0;
	for (rr int i=0;i<=n1;++i){
		rr int now=(m-i+1)/2; sum+=c1[i];
		if (now<0) now=0; if (now>n2) continue;//必须塞满，塞不满不能改变答案
		if (sum+s[now]<ans) ans=sum+s[now];
	}
	return ans<wm+1;
}
signed main(){
    n=iut(),scanf("%lld",&wm);
    for (rr int i=1;i<=n;++i){
    	rr int w=iut(),c=iut();
    	if (c==1) c1[++n1]=w;
    	    else c2[++n2]=w;
    	r+=c;
	}
	for (rr int i=1;i<=n2;++i) s[i]=s[i-1]+c2[i];
	while (l<r){
		rr int mid=(l+r+1)>>1;
		if (check(mid)) l=mid;
		    else r=mid-1;
	}
    return !printf("%d",l);
}

JZOJ 5184 Gift

题目

有\(n(\leq 1000)\)个物品，背包容量大小为\(m(\leq 1000)\)，
问有多少种方案使背包尽量被填充（也就是填不了任何一件未填入的物品）

分析

这题数据范围就是个背包，不由得想到用背包求方案数来做
但是怎么统计呢，首先降序排序再求后缀和
那么所能选择的部分只能是\(\sum_{j=m-a[i]+1}^{m-a[i+1]}f[j-s[i+1]]\)
这部分要填完\(a[i+1\sim n]\),剩下的就是可选方案(最小的是\(a[i]\))

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
#define mod 10000007
using namespace std;
int n,m,a[1001],s[1001],f[1001],ans;
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
signed main(){
	n=iut(); m=iut(); f[0]=1;
	for (rr int i=1;i<=n;++i) a[i]=iut();
	sort(a+1,a+1+n); reverse(a+1,a+1+n);
	for (rr int i=n-1;i;--i) s[i]=s[i+1]+a[i];
	if (s[1]<=m) return !printf("1");
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		for (rr int j=m;j>=a[i];--j) f[j]=(f[j]+f[j-a[i]])%mod;
		for (rr int j=m-a[i]+1;j<=m-a[i+1];++j)
		if (j>=s[i+1]) ans=(ans+f[j-s[i+1]])%mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

JZOJ 4224 食物

题目

有\(n\)种食物，有美味度、大小、份数三种属性，还有\(m\)种工具，有费用、单个运载大小、个数三种属性(六种属性均在100以内)，\(n,m\leq 200,p\leq 50000\)
要用工具装这些食物，可以将一份食物拆开装，但是必须装完这份食物才算美味度，问是否能在运输费用\(\leq 50000\)的情况下满足美味度\(\geq p\)

分析

首先我只要满足美味度就好了，然后肯定想总食物大小越小越省钱，所以可以转过来，设\(f[j]\)表示美味度为\(j\)的最小空间
然后设\(dp[j]\)表示花费\(j\)可以换到的最大空间，然后判断就好了

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
const int M=50000; int f[M+105],dp[M+5];
struct rec{int w,c;}a[1201],b[1201];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline void min(int &a,int b){if (a>b) a=b;}
inline void max(int &a,int b){if (a<b) a=b;}
signed main(){
	for (rr int t=iut();t;--t){
		rr int n1=iut(),n2=iut(),p=iut(),i1,poi=M+1,ans=M+1;
		for (i1=n1,n1=0;i1;--i1){
		    rr int w=iut(),c=iut(),t=iut();
		    for (rr int j=1;t>=j;t-=j,j<<=1)
		    	a[++n1]=(rec){w*j,c*j};
		    if (t) a[++n1]=(rec){w*t,c*t};
		}
		for (i1=n2,n2=0;i1;--i1){
		    rr int c=iut(),w=iut(),t=iut();
		    for (rr int j=1;t>=j;t-=j,j<<=1)
		    	b[++n2]=(rec){w*j,c*j};
		    if (t) b[++n2]=(rec){w*t,c*t};
		}
		fill(f+1,f+M+101,100001); f[0]=0;
		for (rr int i=1;i<=n1;++i)
		for (rr int j=M+100;j>=a[i].w;--j){
		    min(f[j],f[j-a[i].w]+a[i].c);
		    if (j>=p) min(poi,f[j]);
		}
		fill(dp+1,dp+M+1,-100001); dp[0]=0;
		for (rr int i=1;i<=n2;++i)
		for (rr int j=ans;j>=b[i].w;--j){
		    max(dp[j],dp[j-b[i].w]+b[i].c);
		    if (dp[j]>=poi) min(ans,j);
		}
	    if (ans>M) printf("TAT\n"); else printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

JZOJ 6309 完全背包

题目

完全背包模板改动版，\(n\leq 10^6,m\leq 10^{16},w,c\leq 10^2\)

分析

肯定不是裸背包，考虑\(w,c\)突破口，那可以说明\(n\)是唬人的，实际上最多有100件物品（完全背包）
然后如果所有物品都选1次，那么大小最多10000，所以肯定存在一个类似于循环节的存在，
所以背包可以最多跑10000，然后枚举背包循环节判断最大值

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define rr register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
int f[10001],n,a[101]; ll ans,m;
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
signed main(){
	freopen("backpack.in","r",stdin);
	freopen("backpack.out","w",stdout);
	n=iut(); scanf("%lld",&m);
	for (rr int i=1,x,y;i<=n;++i)
	    x=iut(),y=iut(),a[x]=max(a[x],y);
	for (rr int i=1;i<=100;++i) if (a[i])
	for (rr int j=i;j<=10000;++j)
	    f[j]=max(f[j],f[j-i]+a[i]);
	for (rr int i=1;i<=10000;++i)
	    ans=max(ans,m/i*f[i]+f[m%i]);
	return !printf("%lld",ans);
}

后续

wtcl，如果还有就以后单独写吧（然后再放超链接233）

posted @ 2020-01-29 21:40 lemondinosaur 阅读(329) 评论(1) 收藏举报

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