【题解】2024 北京高考数学 21 题

简要题意

先扔掉前两问。

对数列 \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8\)，每次任意对 \(i\in \{1,2\},j\in \{3,4\},k\in \{5,6\},w\in \{7,8\},2\mid i+j+k+w\) 的 \(a_i,a_j,a_k,a_w\) 进行 \(+1\) 操作。

在 \(a_1+a_3+a_5+a_7\) 为偶数的条件下，证明“\(a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8\)”是“存在操作序列使得操作后 \(a_i\) 均相等”的充要条件。

解法

必要性

不妨令最终 \(a_i=A\)，共操作 \(B\) 次，则有 \(a_1+a_2+B=a_3+a_4+B=a_5+a_6+B=a_7+a_8+B=2A\)，因此必要性成立。

充分性

只需给出一种构造使得操作后 \(a_i\) 均相等。

考虑对题目进行转化，切入点是判定以及操作。对于判定，容易发现，只要达到 \(a_1=a_3=a_5=a_7\)，就可以直接进行 \(1,3,5,7\) 或 \(2,4,6,8\) 操作来达到最终目的，因此只需给出达到奇数位置相等的构造。对于操作，发现在判定转化后，\(1,3,5,7\) 与 \(2,4,6,8\) 不会产生影响，那么每次操作实际是两奇两偶，由于只考虑奇数位置，所以每次操作是给两个位置 \(+1\)。

不妨设 \(a_1\le a_3\le a_5\le a_7\)，每次两个位置 \(+1\) 要求最终相等的问题是较为经典的。按照常规思路，若 \(a_1\) 比较适合，可以只进行 \(1,3/5/7\) 的操作来达到目的，设此时最终均为 \(x\)，\(a_1+a_3+a_5+a_7=S\)，则有 \(x-a_1=3x-(S-a_1)\)，所以 \(x=\frac{1}{2}S-a_1\)，根据题目条件知 \(x\) 一定为整数。此时只要 \(x\ge a_7\)，就一定可以达到目的。

考虑 \(x<a_7\) 的情况，此时是 \(a_1+a_7<\frac{1}{2}S\)，注意到进行 \(3,5\) 操作时，只增加 \(S\) 而对 \(a_1+a_7\) 无影响，所以可以直接把 \(a_5\) 加到 \(a_7\)，得到新的 \(a_1,a3+(a_7-a_5),a_7,a_7\)，这时 \(x\ge a_7\) 一定成立，则一定有解，因此充分性成立。

神秘第四问

不妨求一下操作次数最少的方案。

注意到：如果方案中不存在两个操作恰好互补，那么就无法通过删去一些方案使得操作后 \(a_i\) 均相等，也就得到了最小方案。

发现证明时的构造已经非常优秀了，最后的调整是 \(1,3,5,7\) 或 \(2,4,6,8\)，而前面的操作最佳状态就是 \(1,3/5/7\)，显然没有可以删去的过程。

不过调整 \(S\) 的步骤中，可能出现 \(3,5\)，这与 \(1,7\) 有互补的嫌疑。注意到只要 \(a_7=x\)，就不会进行 \(1,7\) 操作，那么让 \(a_3+a_5\) 恰好等于 \(a_1+a_7\)，这样 \(x=\frac{1}{2}S-a_1=a_7\)，于是只有 \(1,3/5\) 以及 \(3,5\) 还是没有重复。非常无敌。

而最终结果是：

默认 \(a_1\le a_3\le a_5\le a_7\)，记 \(S_o=a_1+a_3+a_5+a_7,S_e=a_2+a_4+a_6+a_8\)。

• 若 \(a_1+a_7\le a_3+a_5\)，\(s_{\min}=\frac{1}{4}|S_o-S_e|+\left(\frac{1}{2}S_o-2a_1\right)\)

• 若 \(a_1+a_7>a_3+a_5\)，\(s_{\min}=\frac{1}{4}|S_o-S_e|+\frac{1}{2}(a_1+a_7-a_3-a_5)+(a_7-a_1)\)

注意到如果按照对偶数操作去写，得出来结果是不同形式的相等数，所以应该挺对的。