CF1442

CF1442

A

给定长度为 \(n\) 的数列 \(\{a\}\)，你可以执行两个操作：

• 选择一个前缀并减 \(1\)
• 选择一个后缀并减 \(1\)

你需要使得 \(a\) 变成 \(0\)，判断能否完成。

\(n\le 3\cdot 10^4\)

Solution

等价于将每个元素拆成两个部分 \(p_i,q_i\) 使得 \(p_i+q_i=0\)，\(p_i\) 单调减，\(q_i\) 单调增。

于是可以直接贪心，在保证 \(q_i\) 单调增的前提下尽可能的最大化 \(p_i\)（注意 \(p_i\) 应满足小于等于 \(p_{i-1}\)

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B

给定一个数列 \(a\)，你可以执行以下操作：

• 选择一个 \(x\) 然后将它左边或者右边的一个元素删除。（前提为有）

将被每次被选择的元素记录下来，可以得到一个序列 \(b\)，将每次被删除的元素记录下来，可以得到一个序列 \(c\)，我们给定 \(b\) 与 \(a\)，你需要求有多少个序列 \(c\) 可以由给定 \(a,b\) 生成。

答案对 \(998244353\) 取模。

\(n\le 2\cdot 10^5\)

Solution

反向考虑操作，从后往前加入元素，不难看出来假设 \(x\) 被加入了，那么两端的可以被删除的一定还没有加入，答案就是两端还没被加入的元素数量和的乘积。

同时这是充要的（可以手玩一下）。

复杂度 \(\mathcal O(n)\)

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C

给定一张有向图 \(G\)，你需要从 \(1\) 走到 \(n\)，每次你可以：

• 经过一条边，花费 \(1\)
• 反转一条边，假设这是当前翻转的第 \(k\) 条边，那么花费为 \(2^{k-1}\)

求最小花费，答案需要取模输出。

Solution

两遍最短路，先考虑分层图，计算从 \(1\to x\) 经过了 \(k\) 次翻转的最短路。

显然 \(k\) 较大的时候答案只关乎 \(k\)，维护一个双关键字的最短路即可。这里跑 Dij，复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)

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D

给定 \(n,k\) 表示有 \(n\) 个数列，每个数列的元素都是单增的，你可以执行以下操作 \(k\) 次：

• 选择一个非空数列的开头元素，然后获得其权值，删除其。

求你能获得的最大权值。

\(n,k\le 3000,\sum |S|\le 10^6\)

Solution

观察：我们最后的选择方案中，不存在两个序列是部分被选择。

因为这样调整为全选显然更优。

于是只有一个序列是部分选择，考虑计算除去其之外，其余序列均全选/全不选的情况下的最优解。

这玩意儿显然是一个 dp 模型，可以通过分治优化，复杂度为 \(\mathcal O(nk\log n)\)

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E

给定一棵树，点有黑色/白色/灰色三种颜色，每次你可以选择一个连通块然后选择一些点删除，删除这些点之后你会删除他们的出边。

你不能在一次操作同时删除白色点和黑色点，求最小操作次数。

\(n\le 2\cdot 10^5\)，多组数据。

Solution

观察：删除某个灰色点一定是和某个黑色点/白色点一起删，此时可以确定它的颜色，问题等价于先给灰色点染色再求解答案。

对于一棵仅由黑色/白色点构成的树，可以考虑将黑色连通块和白色连通块缩起来，此时考虑这棵黑/白相见的树，其答案不超过当前深度。

同时，任意的根节点都可以导致不同的答案，显然根节点取直径中点时最优，为 \(\frac{直径}{2}+1\)（当然我并不会证这个是下界，这是猜的）

于是只需要计算给灰色点染色后的直径长度的最小值。

观察：灰色点对答案没有影响。

根据转换，灰色点会使得答案更劣，但是显然灰色点不会使得答案更劣，所以灰色点没有影响。（但是灰色点可以使得图的结构改变，类似于虚点的感觉）

例外：所有点都是灰色点。

但是答案加了 \(1\) 刚好判掉了。。。

• 话说我发现灰色点这个 detail 处理起来挺恶心的...

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F

咕咕咕。