CF1404D

CF1404D

这是一道交互题

给定 \(2n\) 个数 \(1,2\sim 2n\)，A 和 B 进行交互，如下规则：

• A 需要将元素分成 \(n\) 组 \(\mathbf{pair}\)
• B 从每组 \(\mathbf{pair}\) 中选择一个元素，如果权值和是 \(2n\) 的倍数那么 B 胜，否则 A 胜。

你需要选择 A/B 中的一者扮演角色，并取得胜利。

\(n\le 5\times 10^5\)

Solution

反正我不会，构造什么的最难了。

• \(n\) 为偶数

我们选先手。

此时 \(\sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2}\equiv \frac{n}{2}\pmod{n}\)

所以这样构造，每个二元组均为 \((i,i+n)\)，不难发现最后模 \(2n\) 意义下为 \(\frac{n}{2}\)

• \(n\) 为奇数

我们选后手，对于输入的每组 \(\mathbf{pair}\) 我们当作一条边连接 \(a_i,b_i\)，然后我们连接 \((i,i+n)\)

由于每个点的度数均为 \(2\)，所以这个图由若干个环构成。

现在我们相邻两个点只能选一个点，于是分别处理一下两种可能的选法。

最后我们可以得到的权值和为 \(\sum_{i=1}^{n}i+k\times n\)，在 \(\mod 2n\) 意义下即 \(n+k\times n\)，将使得 \(k\) 为奇数的情况选出即可。

同时不难注意到，由于 \(n\) 为奇数，所以 \(n\) 的数量和为奇数，所以总存在一种这样的方案。

更加简单的处理是直接黑白染色，如果全选黑不行那就直接全白。