NOI2011 NOI嘉年华

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第一问会 \(\mathcal O(N^3)\)，第二问会 \(\mathcal O(N^4)\)

先离散化，第一问大概是设 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 个区间，当前选了 \(j\) 个区间，当前区间的最右点为 \(k\) 的情况下，另一个序列可以选的最多的区间，转移比较简单。

同时转移的时候我们可以保证当前的 \(f_{i,j,k}\) 中的 \(k\) 就是最大的 \(r\)

第二问考虑设 \(pre_{i,j}\) 表示时刻 \(i\) 之前选了 \(j\) 个另一个可以选的最多区间。

同时设 \(nxt_{i,j}\) 表示时刻 \(i\) 之后选了 \(j\) 个另一个可以选的最多区间。

通过 \(\mathcal O(N^3)\) 进行预处理，我们可以轻易得到所有的 \(pre\) 和 \(nxt\)

接下来考虑合并答案，不难注意到包含第 \(i\) 个区间一起被选的元素一定构成一个区间，我们直接大力枚举这个区间 \(l,r\)

那么答案即：

\[\max\{\min(pre_{l,j}+nxt_{r,k},j+k+s(l,r))\} \]

于是喜闻乐见得到了一个 \(\mathcal O(N^5)\) 的做法...我还不如直接 Dp 求答案，第 \(i\) 个时候强制一下...

注意到答案只关乎 \(l,r\)，所以我们预处理一下 \(g(l,r)\)，就可以做到 \(\mathcal O(N^3)\) 的查询了，但是预处理 \(g(l,r)\) 大概是这样的一个过程：

\[g(l,r)=\max \{\min(pre_{l,j}+nxt_{r,k},j+k+s(l,r))\} \]

观察到 \(pre_{l,x}\) 是关于 \(x\) 的减函数，同理于 \(nxt_{r,x}\)，所以如果 \(j\) 增大，那么 \(k\) 必然减少，所以我们利用单调性就可以做到 \(\mathcal O(N^3)\)

好仙啊这道题。