数学分析A 定理简单整理（部分）

第一章

集合和函数一些基础的就不理了。

可列集：与自然数集合等势的无限集

第二章数列极限

最大数和最小数：

$\max S=x \iff \exist x \in S,\forall y \in S,y\le x$
$\min S=x \iff \exist x \in S,\forall y \in S,y\ge x$

有界集：$S$ 有界 $\iff \exists M>0,\forall x \in S,|x|\le M$

上界和下界：

$M$ 是 $S$ 的上界 $\iff \forall x \in S,x\le M$
$M$ 是 $S$ 的下界 $\iff \forall x \in S,x\ge M$

上确界和下确界：

上确界：$\sup S=\min \{x|\forall y\in S,y\le x\}$
下确界：$\inf S=\max \{x|\forall y\in S,y\ge x\}$

性质：
非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界。（确界存在定理——实数系存在性定理）(2.1.1)
上确界是上界，任何上界不比上确界小；下确界是下界，任何下界不比下确界大
非空有界数集的上下确界唯一(2.1.2)

设 $\bar A/\bar B$ 是 $\mathbb R$ 的一个切割（若 $S=A\cup B$ 且 $\forall a\in A,\forall b\in B,a<b$，则称 $A/B$ 为 $S$ 的一个切割），则 $\max \bar A$ 或 $\min \bar B$ 存在（Dedeking切割定理）

数列极限：
$\forall \varepsilon >0,\exists N,\forall n>N,|x_n-A|<\varepsilon \iff \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=A$

无穷小量：极限为 $0$ 的数列

数列极限的性质：
极限存在必唯一（唯一性）
收敛数列必有界（有界性）
$\lim_{n\rightarrow \infty} x_n>\lim_{n\rightarrow \infty} y_n\Rightarrow\exists N\in \mathbb N^{+},\forall n>N,x_n>y_n$（保序性）
$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim_{n \rightarrow \infty} y_n=a$ 且 $\exists N_0,\forall n>N_0,x_n\le z_n\le y_n\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} z_n=a$（夹逼性）
满足合法四则运算

无穷大量：
$x_n$ 是无穷大量 $\Rightarrow \forall G>0,\exists N>0,\forall n>N,|x_n|>G$

记作 $\lim_{n\Rightarrow \infty}x_n=\infty$
特别地，$x_n$ 若从某一项起符号不再变化，则为定号无穷大量，分为正无穷大量，负无穷大量。

性质：$\{x_n\}$ 是无穷大量 $\iff \left\{\dfrac 1{x_n}\right\}$ 是无穷小量
若 $\{x_n\}$ 是无穷大量，且 $\exists N_0,\forall n>N_0,|y_n|\ge\delta>0$，则 $\{x_ny_n\}$ 是无穷大量
若 $\{y_n\}$ 为严格单调递增的正无穷大量，且有 $\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=a$，则 $\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a$（$\text {Stolz}$定理）

收敛准则：
单调有界数列必然收敛
如果一系列闭区间 $\{[a_n,b_n]\}$ 满足条件 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$ 且 $\lim_{n\rightarrow \infty} b_n-a_n=0$ ，则称这一系列区间为闭区间套。可以证明对于一个闭区间套，存在唯一的实数 $\xi$ 满足：$\forall n,\xi\in[a_n,b_n]$ 且 $\xi=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ （闭区间套定理）
有界数列必有收敛子列 （Bolzano-Weierstrass定理）
基本数列：$\forall \varepsilon >0,\exists N,\forall n,m>N,|x_n-x_m|<\varepsilon$
$\{x_n\}$ 收敛 $\iff\{x_n\}$ 为基本数列 （Cauchy收敛原理）

实数系的完备性和连续性等价

第三章函数极限与连续函数

如果函数 $f(x)$ 在去心领域 $O(x_0,\rho)$ 上有定义，且满足 $\forall \varepsilon>0 ,\exists \delta>0,\forall x(0<|x-x_0|<\delta),|f(x)-a|<\varepsilon$，则可记为 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a$

函数极限的性质：
唯一性，局部保序性，局部有界性，夹逼性。
满足合法的四则运算。

$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\forall \{x_n\}(x_n\not=x_0),[\lim_{n\to \infty}x_n=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(x_0)]$ （$\text{Heine}$ 定理）

单侧极限：
如果函数 $f(x)$ 在 $(x_0,x_0+\rho)$ 上有定义，且满足 $\forall \varepsilon>0 ,\exists \delta>0,\forall x(x_0<x<x_0+\delta),|f(x)-a|<\varepsilon$，则可记为 $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=a$，称其为 右极限，可以记作 $f(x_0+)$
如果函数 $f(x)$ 在 $(x_0-\rho,x_0)$ 上有定义，且满足 $\forall \varepsilon>0 ,\exists \delta>0,\forall x(x_0-\delta<x<x_0),|f(x)-a|<\varepsilon$，则可记为 $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=a$，称其为 左极限，可以记作 $f(x_0-)$

函数极限定义的扩充

$\lim_{x\to +\infty}f(x)$ 存在且有限 $\iff\forall \varepsilon>0,\exists X>0,\forall x',x^">X,|f(x')-f(x^")|<\varepsilon$ （函数 $\text{Cauchy}$ 定理）

连续函数：
$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\iff f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$x_0$ 为 连续点
$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\iff f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续
$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)\iff f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\iff f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续且 $f(x)$ 在 $a$ 左连续，且 $f(x)$ 在 $b$ 右连续

不连续点：
第一类：$f(x_0-)\not=f(x_0+)$
第二类：$f(x_0-)$ 或 $f(x_0+)$ 不存在
第三类：$f(x_0)$ 不存在

若函数 $y=f(x),x\in D_f$ 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数 $ x=f^{-1}(y),y\in R_f$，并且 $f^{-1}(y)$ 也是严格单调增加（减少）的 （反函数存在性定理）

若函数 $y=f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且严格单调增加，$f(a)=\alpha,f(b)=\beta$，则它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 连续且严格单调增加 （反函数连续性定理）

若 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$g(x_0)=u_0$，又 $y=f(u)$ 在点 $u_0$ 连续，则复合函
数 $y=f\circ g(x)$ 在点 $x_0$ 连续 （复合函数的连续性）

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数———— 基本初等函数
从这些基本初等函数出发经过有限次四则运算及复合运算所产生的函数即 初等函数
一切初等函数在其定义区间上连续

无穷小量与无穷大量的阶：
$\lim_{x\to x_0} f(x)=0 \iff f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小量

对于两个当 $x\to x_0$ 无穷小量 $u(x),v(x)$：
$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=0$：$u(x)$ 关于 $v(x)$ 是 高阶无穷小量，记为 $u(x)=o(v(x))\ (x\to x_0)$

$\dfrac{u(x)}{v(x)}$ 在 $x_0$ 附近有界：$u(x)$ 与 $v(x)$ 是 同阶无穷小量，记为 $u(x)=O(v(x))\ (x\to x_0)$

$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=1$：$u(x)$ 与 $v(x)$ 是 等价无穷小量，记为 $u(x)~v(x)\ (x\to x_0)$

$u(x)=o(1)\ (x\to x_0)\iff u(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小量
$u(x)=O(1)\ (x\to x_0)\iff u(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的有界量

$\lim_{x\to x_0} f(x)=\infty \iff f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大量

对于两个当 $x\to x_0$ 无穷大量 $u(x),v(x)$：
$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=\infty$：$u(x)$ 关于 $v(x)$ 是 高阶无穷大量

$\dfrac{u(x)}{v(x)}$ 在 $x_0$ 附近有界：$u(x)$ 与 $v(x)$ 是 同阶无穷小量，记为 $u(x)=O(v(x))\ (x\to x_0)$

$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=1$：$u(x)$ 与 $v(x)$ 是 等价无穷小量，记为 $u(x)~v(x)\ (x\to x_0)$

等价无穷小量与等价无穷大量统称 等价量

若 $u(x),v(x),w(x)$ 均在 $x_0$ 附近有定义，且 $v(x)~w(x)\ (x\to x_0)$ 则有：

$\lim_{x\to x_0} u(x)v(x)=A \iff \lim_{x\to x_0} u(x)w(x)=A$
$\lim_{x\to x_0} \dfrac{u(x)}{v(x)}=A \iff \lim_{x\to x_0} \dfrac{u(x)}{w(x)}=A$

闭区间上的连续函数

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界 （有界性定理）
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow$ 对于值域 $V=\{f(x)|x\in [a,b]\}$，$\max{V},\min V$ 均存在 （最值定理）
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)\cdot f(b)<0$ $\Rightarrow$ $\exists \xi\in (a,b),f(\xi)=0$ （零点存在定理）
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow$ $\forall A\in [\min V,\max V],\exists \xi\in [a,b],f(\xi)=A$ （介值存在定理）

一致连续

$f(x)$ 在 $X$ 上有定义且 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x',x^"\in X,\left[|x'-x^"|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x^")|<\varepsilon\right]$，则称 $f(x)$ 在 $X$ 上 一致连续（高级的连续条件）

$f(x)$ 在 $X$ 上有定义，$f(x)$ 在 $X$ 上一致连续 $\iff$ $\forall \{x'_n\},\{x^"_n\}\ \ (x'_n,x^"_n\in X),\lim_{n\to\infty} (x'-x^")=0\Rightarrow\lim_{n\to\infty} (f(x')-f(x^"))=0$

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续 （$\text{Cantor}$ 定理）

$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，则：$f(a+)$ 与 $f(b-)$ 存在 $\iff$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续

posted @ 2025-11-06 23:00 The_Euclidea_Witness 阅读(18) 评论(0) 收藏举报

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