采样与FFT注意事项

一、采样过程

1、混叠 (\(Aliasing_{}\))

原因

采样频率 \(f_{s}\) 不满足奈奎斯特采样定理(\(f_{s}\) < \(2f_{max}\)，\(f_{max}\) 为信号最高频率)

现象

高频信号被误认为低频信号，频谱发生折叠。当手机以 15 帧/秒（采样频率 15Hz）拍摄每秒转 10 圈的电风扇时（信号频率 10Hz），因采样率未达奈奎斯特标准（需 ≥ 20Hz），叶片每帧仅转动 240°，人眼误将其 “跳跃” 视为逆时针 120°，导致高速正转的风扇在画面中呈现低速反转 —— 这就是高频信号因采样不足 “伪装” 成低频信号的混叠现象，类似数码相机拍旋转物体出现的 “伪影” 本质。（核心：采样率不足时，高频会被误判为低频，生活中常见于视觉暂留场景）。

影响

信号失真，无法还原原信号。

解决方法

1. 采样前添加抗混叠滤波器（低通滤波器）。

2. 使用更高采样率，保证 \(f_{s}\) > \(2f_{max}\)。

2、欠采样 (\(Non-uniform Sampling_{}\))

原因

欠采样（Undersampling）其实是一种采样策略，指采样频率低于信号最高频率的两倍（即奈奎斯特采样定理的要求），或在数据集中主动减少多数类样本以平衡数据分布的方法。通俗来说，就是“采样太稀疏”，漏掉了高频细节，高频变为了低频。

原理

• 非均匀性：采样间隔 Δt 不固定，可能是随机的（如泊松采样）、周期性变化的（如交替疏密），或根据信号实时调整的（如自适应采样）。
• 打破奈奎斯特限制：传统均匀采样需满足 “采样率≥2 倍最高频率”，但非均匀采样通过稀疏表示 / 压缩感知理论，允许以低于奈奎斯特率的采样率重建信号（前提是信号具有稀疏性）。

现象

混叠：高频信号被 “折叠” 成低频噪声（如 44.1kHz 采样率下，25kHz 信号会被误现为 19.1kHz）

优点

1. 节省采样点数（降低成本）

2. 保留关键细节（如突变信号）

3. 适合稀疏信号高效采集

缺点

1. 重建算法复杂（需专用插值 / 恢复技术）

2. 对噪声敏感，需抗干扰设计

3. 理论分析依赖信号先验（如稀疏性）

二、FFT运算

频谱泄漏 (\(Spectral Leakage_{}\))

原因

频谱泄露源于信号截断与非整周期采样。当对连续信号进行离散采样时，若截取的信号长度不是信号周期的整数倍（非整周期截断），或采样频率与信号频率不同步，时域截断会等效于信号与矩形窗函数相乘。矩形窗的频域响应是 sinc 函数，其旁瓣能量向周边频率扩散，导致本应集中的单频信号在频谱中 “泄露” 到其他频率点。本质是时域有限截断破坏了频域的无限连续性。

例如，信号频率为50Hz，使用950Hz采样频率进行采样，那么一个周期采样点数 \(N_{s} = 19\) 点（故意少采 1 点），\(截断长度 = \frac{19}{1000} = 0.019 秒\)，非 50Hz 周期（0.02 秒）的整数倍。

（对 50Hz 工频信号采样，但采样时长不是 20ms 的整数倍（如采样 10 个周期，时长 200ms））。

现象

频谱中 50Hz 主瓣能量泄漏到邻近频点（如49Hz、51Hz），出现虚假谐波。

影响

幅值测量不准确，幅值测量偏高（旁瓣能量叠加）；频率分辨率下降，频率识别错误（如误判谐波次数）。

解决方法

1. 整周期采样：确保采样点数 N 是信号周期 T 的整数倍（\(N = kT・fs_{}\)），从源头避免截断误差。

2. 加窗处理：用汉宁窗、布莱克曼窗等替代矩形窗，通过降低旁瓣能量抑制泄露（代价：主瓣展宽，频率分辨率下降）。

3. 增加采样点数：提高 FFT 点数（如补零），细化频谱间隔，减少栅栏效应间接缓解泄露。

栅栏效应 (\(Picket Fence_{}\))

原因

FFT 的频率轴是离散网格，由采样率 \(f_{s}\) 和采样点数 \(N_{}\) 决定，频率间隔（分辨率）为 \(\Delta f=\frac{f_{s}}{N}\)。只有当信号频率 \(f_{0}=k・\Delta f\) 时，谱线才会精准落于离散点（如 \(fft_{}\) 第 \(k_{}\) 根谱线）。若 \(f_{0}\) 不满足此条件，真实谱峰将位于两根谱线之间，如同被 “栅栏” 遮挡，只能观测到相邻离散点的幅值。

现象

真实频率可能落在两个离散点之间，导致幅值估计误差。

影响

无法精确检测频率和幅值。

解决方法

1. 提高频率分辨率：增加采样点数 \(N_{}\) 或者减小采样频率 \(f_{s}\) ，例如采样 3000 个点，$\Delta f=1Hz $，消除栅栏效应。

2. 插值矫正：通过相邻谱线幅值比例反推真实频率（如三点插值法，误差可降至 \(\frac{\Delta f}{10}\) 以下）。

3. 同步采样：使 \(f_{0}\) 为 \(\Delta f\) 的整数倍。

4. ZOOM FFT(细化快速傅里叶变换)：在不增加采样点数的前提下，通过频移、滤波和降采样，对目标频带进行局部细化，使该区域的频率分辨率显著提升。

栅栏效应与频谱泄露的区别

现象	核心原因	具体表现
栅栏效应	信号频率 \(f_{0}\) 与离散频率点 \(\Delta f\) 不对齐（不可整除）	谱峰位置偏移，幅值被低估
频谱泄露	非整周期截断导致能量扩散（采样时长不是 \(\frac{1}{f_{0}}\) 的整数倍）	旁瓣出现，能量跨频率扩散
关联	常同时发生（非整周期→不对齐 + 泄露）	案例中双峰 + 旁瓣并存