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涉及知识点：鸽巢原理，贪心

前言

唐诗题，赛时都已经想到了所有性质，以为要从数学方法上求解，却没想到就是个纯贪心题……

题意

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给你一堆数，\(1,2,3,\dots,n\)，分别有 \(a[1],a[2],a[3],\dots,a[n]\) 个，你还可以添加不超过 \(k\) 个数（当然这些数得是 \(1\sim n\) 中的整数），你需要将它们划分成若干组，使得组内数的总数相同，且组内不存在相同的数，求组中数的个数的最大值。\(2\leq n \leq 2\times 10^5\)，\(0\leq k \leq 10^{16}\)，\(0\leq a[i]\leq 10^{10}\)。

思路

我们记一组中数的个数为 \(s\)，共有 \(d\) 组，根据题意显然 \(s\cdot d=\sum{a[i]}+k\)。

• \(s\leq n\)。由于一组中的数要求不重复，而数的可能的取值只有 \(n\) 种，根据鸽巢原理，一组的大小 \(s\) 不可能大于 \(n\)。
• \(d\geq \max\{a[i]\}\)。由于一组种的数要求不重复，根据鸽巢原理，如果对于某个 \(i\)，\(d\leq a[i]\)，那么至少存在一组，组中有多于 \(1\) 个的 \(i\)，因此 \(d\) 不可能小于任意 \(a[i]\)。

因此我们考虑从大到小枚举所有可能的 \(s\)，判断其是否可行，也就是找到是否存在 \(d\) 满足 \(s\cdot d=\sum{a[i]}+k'\)，并且 \(0\leq k'\leq k\)，那么我们去找满足 \(s\cdot d\geq \sum{a[i]}\) 的最小的 \(d\) 即可，因为如果最小的那个 \(d\) 都不满足 \(k'\leq k\)，那么更大的 \(d\) 也一定不会满足。

反思

在做这道题的时候一直想的是如何用数学方法同时最优化 \(s\) 和 \(d\) 这两个数，但是实际上 \(s\) 是可枚举的，而且判断一个 \(s\) 是否可行也不用一一尝试所有 \(d\)，赛时脑子没转过弯。

代码

int n;
LL k,a[MAXN],sum,maxx;
inline void solve(){
    sum=0;maxx=0;
    rd(n);rd(k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        rd(a[i]);
        sum+=a[i];
        maxx=max(maxx,a[i]);
    }
    for(LL s=n;s>=1;s--){
        if(maxx*s>=sum && k>=maxx*s-sum){
            wt(s,'\n');
            return;
        }
        else if(maxx*s<sum){
            LL delta=sum-maxx*s;
            delta=(ceil((double)delta/(double)s))*s;
            if(k>=maxx*s+delta-sum){
                wt(s,'\n');
                return;
            }
        }
    }
    wt(1,'\n');
}