常微分方程基本型

常微分方程(考研数学)

1. 基本型

1.1 一阶微分方程

微分方程类型	基本形式
$$一阶可分离变量$$	$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$
$$一阶线性$$	$$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$$
$$换元后可分离$$	$$\frac{dy}{dx} = f(ax+by+c)$$
$$齐次方程$$	$$\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})$$
$$伯努利方程$$	$$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n , (n\neq0,1)$$

1.2 二阶微分方程

微分方程类型	基本形式
$$二阶常系数齐次方程$$	$$y''+py'+qy=0$$
$$二阶常系数非齐次方程$$	$$y''+py'+qy=f(x)$$

\(p,q为常数\).有三种解，表格如下

判别式	特征根	通解形式
\(p^2-4q>0\)	\(\lambda_{1,2}=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}\)	\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
\(p^2-4q=0\)	\(\lambda=\frac{-p}{2}\)	\(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}\)
\(p^2-4q<0\)	\(\alpha=\frac{-p}{2}\) \(\beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\)	\(y=e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})\)

3. 常微分方程基本概念

常微分方程

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。

线性微分方程

形如\(y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+\cdots+a_n(x)y=f(x)\)的微分方程称为n阶线性微分方程。其中\(a_k(x)\)都是自变量x的函数。

微分方程的解

若将函数带入微分方程，使方程成为恒等式，则该函数为微分方程的解。微分方程解的图形称为积分曲线。

微分方程的通解

微分方程的解中含有独立常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解。

初始条件与特解

确定通解中常数的条件称为初始条件。确定了通解中常数的值后得到的特解称为特解。