1 三角函数的正交性
1.1 定义三角函数系
\(\sin nx,\cos nx,0,1 (n取非负整数，n=0,1,2,3,4,···)\)
1.2 三角函数的正交性
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx dx=\pi\delta_{nm} \\
\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx dx=\pi\delta_{nm} \\
\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx dx=0
\]
\[\delta_{nm} =
\begin{cases}
1, & n=m \\
0, & n\neq m
\end{cases}
\]
证明：
可以使用积化和差公式证明
1.3* 补充
1.3.1 积化和差公式
\[\sin nx\sin mx = \frac{1}{2}[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x]
\]
\[\cos nx\cos mx = \frac{1}{2}[\cos(n-m)x+\cos(n+m)x]
\]
\[\sin nx\cos mx = \frac{1}{2}[\sin(n+m)x+\sin(n-m)x]
\]
2 傅立叶级数
2.1 傅立叶级数
下面，我们定义一个周期函数\(f(x)\),周期为\(T=2\pi\)，并且在\([-\pi,\pi]\)上是连续的，且满足狄利克雷条件，那么\(f(x)\)可以展开为如下的傅立叶级数：
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \cos nx + \sum_{n=0}^{\infty}b_n \sin nx \\
=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n \cos nx+b_n \sin nx)
\]
其中\(
a_0=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\mathrm{dx}
\)
\[a_n= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos nx \, \mathrm{dx} \, (n\neq0)\\
b_n= \frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin nx \, \mathrm{dx} \, (n\neq0)
\]
2.2 \(a_n,a_0,b_n\)的求法
1.若求\(a_0\),只需将式
\[\begin{align}
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \cos nx + \sum_{n=0}^{\infty}b_n \sin nx
\end{align}
\]
左右两边同时从作\(\int^{\pi}_{-\pi} \,\mathrm{dx}\)即可。
2.若求\(a_n\),需要将式(1)左右两边作\(\int^{\pi}_{-\pi}\cos \mathrm{dx}\)
3.若求\(b_n\),需要将式(1)左右两边作\(\int^{\pi}_{-\pi}\sin \mathrm{dx}\)
2.3 以\(2l\)为周期的傅立叶级数
将以下傅立叶展开式作变换
\[\begin{align}
f(t) =\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n \cos nt+b_n \sin nt)
\end{align}
\]
设周期为\(2l\)，则函数满足\(f(t)=f(t+2l)\)
令\(x=\frac{\pi}{l}t\),则\(t=\frac{\pi}{l}x\)
故
\[f(t)=f(\frac{\pi}{l}x)=g(x)=g(x+2\pi)
\]
此处是对自变量作线性变换，目的是将2l为周期的函数通过手段转换为\(2\pi\)为周期的\(g(x)\),得以直接调用公式计算。因此式(2)可以写作
\[\begin{align}
f(t)=g(x) =\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n \cos \frac{n\pi}{l}t+b_n \sin \frac{n\pi}{l}t)
\end{align}
\]
则对应的系数展开式变作
\[\begin{align*}
a_n= \frac{1}{l}\int^{l}_{-l}f(t)\cos \frac{n\pi}{l}t \, \mathrm{dt} \, \\
b_n= \frac{1}{l}\int^{l}_{-l}f(t)\sin \frac{n\pi}{l}t \, \mathrm{dt} \,
\end{align*} \\
a_0=\frac{1}{l}\int^{l}_{-l}f(t)\mathrm{dt}
\]
进一步的，令\(T=2l,\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{l}\)，利用周期函数在整个周期的积分性质则有
\[\begin{align}
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n \cos n\omega t+b_n \sin n\omega t)
\end{align}
\]
系数可以写成
\[\begin{align*}
a_n= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\cos n\omega t \, \mathrm{dt} \, \\
b_n= \frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\sin n\omega t \, \mathrm{dt} \,
\end{align*} \\
a_0=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f(t)\mathrm{dt}
\]
2.4* 补充
2.4.1 狄利克雷收敛定理(傅立叶展开适用条件)
设\(f(x)\)是以\(2l\)为周期的可积函数，如果在\([-l,l]\)上\(f(x)\)满足以下条件：
- 连续或只有有限个第一类间断点。
- 至多只有有限个极值点。
则\(f(x)\)的傅立叶级数的和函数\(S(x)\)在\(x\)的任意点收敛于\(f(x)\)的中点。
\[S(x) = \frac{f(x-0)+f(x+0 )}{2}
\]
2.4.2 傅立叶级数一些有趣的性质
当\(f(x)\)是奇函数时，对应的傅立叶级数展开为为正弦级数,只保留\(a_n\)项。
当\(f(x)\)是偶函数时，对应的傅立叶级数展开为为余弦函数,只保留\(b_n\)项。
3 推广到复数形式
3.1 推到复数形式
现在，将式(4)用欧拉公式展开
\[\begin{align*}
e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta \\
\sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \\
\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
\end{align*}
\]
得到
\[\begin{align*}
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n \cos n\omega t+b_n \sin n\omega t) \\
=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n \frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}+b_n \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2i})
\end{align*}
\]
将式(4)的系数展开式\(a_0,a_n,b_n\)代入上式,得到(此处用到了求和符号的换元技巧)
\[\begin{align}
f(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_n e^{in\omega t}
\end{align}
\]
系数\(c_n\)是一个复数，形式为\(a+ib\)，写作
\[\begin{align}
c_n=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t} \, \mathrm{dt}
\end{align}
\]
3.2* 补充
3.2.1 周期函数的定积分的性质
设\(f(t)\)是以\(T\)为周期的函数，那么
\[\int^{T}_{0}f(t)\mathrm{dt} = \int^{T+a}_{a}f(t)\mathrm{dt} \, (a为任意常数)
\]
3.2.2 \(c_n\)的推导过程及求和符号处理方法
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(n)\xrightarrow{等价于} \sum_{n=-\infty}^{-1}a_{-n}f(-n)
\]
4 傅立叶变换
4.1 向非周期函数的推广
设一周期函数\(f_T{(t)}=f(t+T)\),\(\omega=\omega_0\)
其傅立叶变换系数\(c_n\)(式(6))取从负半周期到正半周期的积分
\[\begin{align}
c_n=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t} \, \mathrm{dt}
\end{align}
\]
对于非周期函数\(f(t)\)，我们可以将其看作是周期函数的极限情况，即\(T\rightarrow \infty\)。设\(\Delta \omega=(n+1)\omega_0 -n\omega_0\),有\(\frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi}\)。此时式(7)变为：
\[\begin{align}
c_n=\lim_{\Delta \omega \rightarrow0}\frac{\Delta \omega}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-in\omega_0 t} \, \mathrm{dt}
\end{align}
\]
此时将式(7)带入式(5),由于定积分的定义,令\(nw_0=w\),将离散值化为连续值,得到
\[\begin{align}
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t} \, \mathrm{dt}) e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega
\end{align}
\]
称\(F(\omega)\)为\(f(t)\)的傅立叶变换，\(f(t)\)为\(F(\omega)\)的逆傅立叶变换。
\[\begin{align}
F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t} \, \mathrm{dt}
\end{align}
\]
把式(9)和式(10)写在一起
\[\begin{cases}
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega & (逆傅立叶变换/时域)
\\ \\
F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t} \, \mathrm{dt} & (傅立叶变换/频域)
\end{cases}
\]
做傅立叶变换需要函数满足狄利克雷条件，即函数在有限区间内有有限个第一类间断点，且至多有有限个极值点。
4.2* 补充
4.2.1 傅立叶变换的性质
- 线性性质
\[\begin{align}
\alpha f(t)+\beta g(t) \xrightarrow{F} \alpha F(\omega)+\beta G(\omega)
\end{align}
\]
- 时移性质
\[\begin{align}
f(t-t_0) \xrightarrow{F} e^{-i\omega t_0}F(\omega)
\end{align}
\]
- 频移性质
\[\begin{align}
e^{i\omega_0 t}f(t) \xrightarrow{F} F(\omega-\omega_0)
\end{align}
\]
- 时域微分性质
\[\begin{align}
\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} \xrightarrow{F} i\omega F(\omega)
\end{align}
\]
- 频域微分性质
\[\begin{align}
-itf(t) \xrightarrow{F} \frac{\mathrm{d}F(\omega)}{\mathrm{d}\omega}
\end{align}
\]
- 时域积分性质
\[\begin{align}
\int^{t}_{-\infty}f(t) \xrightarrow{F} \frac{F(\omega)}{i\omega}+\pi F(0)\delta(\omega)
\end{align}
\]
- 频域积分性质
\[\begin{align}
\int^{+\infty}_{-\infty}F(\omega) \xrightarrow{F} 2\pi f(0)
\end{align}
\]
- 时域卷积性质
\[\begin{align}
f(t)*g(t) \xrightarrow{F} F(\omega)G(\omega)
\end{align}
\]
- 频域卷积性质
\[\begin{align}
f(t)g(t) \xrightarrow{F} \frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega)
\end{align}
\]
- 时域复共轭性质
\[\begin{align}
f^*(t) \xrightarrow{F} F^*(-\omega)
\end{align}
\]
- 频域复共轭性质
\[\begin{align}
f^*(-t) \xrightarrow{F} F^*(\omega)
\end{align}
\]
- 时域对称性质
\[\begin{align}
f(-t) \xrightarrow{F} F(-\omega)
\end{align}
\]
- 频域对称性质
\[\begin{align}
f(-\omega) \xrightarrow{F} F(-t)
\end{align}
\]
- 时域平移性质
\[\begin{align}
f(t)e^{i\omega_0 t} \xrightarrow{F} F(\omega-\omega_0)
\end{align}
\]
- 频域平移性质
\[\begin{align}
F(\omega)e^{i\omega_0 t} \xrightarrow{F} f(t-\omega_0)
\end{align}
\]
4.2.2 傅立叶变换的推广-拉普拉斯变换
\[\begin{align}
F(s)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-st} \, \mathrm{dt}
\end{align}
\]
反变换
\[\begin{align}
f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int^{+\infty+i\infty}_{-\infty+i\infty}F(s)e^{st} \, \mathrm{ds}
\end{align}
\]
其中\(s=\sigma+i\omega\)
5 来源
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